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Könnt ihr mir erklären, was Schritt für Schritt hier passiert, weil ich kann es nicht ganz nachvollziehen.

$$ ( f g ) ^ { ( n ) } \left( x _ { 0 } \right) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) f ^ { ( k ) } \left( x _ { 0 } \right) g ^ { ( n - k ) } \left( x _ { 0 } \right) $$

$$ ( f g ) ^ { ( n + 1 ) } = \left( ( f g ) ^ { ( n ) } \right) ^ { \prime } = \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) f ^ { ( k ) } g ^ { ( n - k ) } \right) ^ { \prime } \\ = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \left( f ^ { ( k + 1 ) } g ^ { ( n - k ) } + f ^ { ( k ) } g ^ { g ( n - k + 1 ) } \right) \\ = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \left( f ^ { ( k + 1 ) } g ^ { ( n + 1 - ( k + 1 ) ) } + f ^ { ( k ) } g ^ { g ( n + 1 - k ) } \right) \\ = \sum _ { k = 0 } ^ { n + 1 } \left( \left( \begin{array} { c } { n } \\ { k - 1 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { n } \\ { k } \end{array} \right) \right) f ^ { ( k ) } g ^ { ( n + 1 - k ) } \\ = \sum _ { k = 0 } ^ { n + 1 } \left( \begin{array} { c } { n + 1 } \\ { k } \end{array} \right) f ^ { ( k ) } g ^ { ( n + 1 - k ) } $$

von

Vom Duplikat:

Titel: Produktregel von Leibniz?

Stichworte: leibniz,beweis,ableitung,produktregel

Sei I ⊆ R ein Intervall. Zeigen Sie, dass für f, g ∈ C^∞(I) und n ∈ N die Produktregelvon Leipniz

$$ ( f \cdot g ) ^ { ( n ) } ( x ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) f ^ { ( k ) } ( x ) \cdot g ^ { ( n - k ) } ( x ) $$

gilt, wobei h^{0}(x) := h(x) für jede Funktion h gesetzt wird.

Stichwort: vollständige Induktikion

Verwende im Induktiosschritt die Produktregel

1 Antwort

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Beste Antwort

Das ist nur der Induktionschritt: Übergang von n. Ableitung  --> n+1. Ableitung des Produkts (f*g)(x0) .

Beachte, dass da jeweils das Argument (x0) vergessen gegangen ist.

Ausserdem wird in den Summanden die Produktregel  der Abeitung verwendet.

Binomialkoeffizienten kennst du?

von 162 k 🚀

Ich versteh alles bis auf den Teil wo g^{n-1}-(k+1) steht, weil ich nicht weiß, wie man darauf kommt

Induktionsschritt von Zeile 2 zu Zeile 3 ?

Das ist so ähnlich wie bei der quadratischen Ergänzung. Man überlegt sich, was man brauchen kann und subtrahiert 1 zuerst, gleich daneben wird die 1 wieder addiert.

Achtung: lasse nach ^ jeweils einen Abstand und setze eine zusätzliche Klammer. Die automatische Caret-Umwandlung entfernt automatisch auch Klammern. Das musst du bei Ableitungen verhindern.

Nee, ich meinte von 3 nach 4

Das ist eine Eigenschaft der Binomialkoeffizienten:

https://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck

Es geht wohl um die Indexverschiebung gerade oberhalb von dem, was mathef nun angefügt hat.

@Sonnenblume: Lasse einfach das Summenzeichen weg und schreibe alle Summanden mit ein paar Pünktchen hin. Dann kannst du neu gruppieren um von Zeile 3 zu Zeile 4 zu gelangen. (Gruppieren ähnlich wie bei einer Teleskopsumme nur fällt nichts weg)

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Gefragt 17 Nov 2019 von hans.zok

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