Wir definieren eine Folge (an )n∈ℕ rekursiv durch
a1 := √2 ,
an+1 := √(2+an )
Beweisen Sie per Induktion:
Für alle n∈ℕ ist an < 2.
Mein Lösungsvorschlag:
$$ Indtuktionsanfang:\quad Es\quad gilt\quad für\quad { a }_{ 1 }=\sqrt { 2 } \\ { a }_{ 1 }\quad <\quad 2\\ \sqrt { 2 } <\quad 2\\ \\ Induktionsschrit:\quad Wenn\quad das\quad für\quad { a }_{ n }\quad gilt,\quad dann\quad muss\quad auch\quad für\quad { a }_{ n+1 }\quad gelten.\\ { a }_{ n+1 }\quad ist\quad schon\quad gegeben,\quad also\quad { a }_{ n+1 }\quad =\quad \sqrt { 2+a_{ n } } \\ \\ \sqrt { 2+a_{ n } } <\sqrt { 2+2 } \\ \sqrt { 2+a_{ n } } \quad <\quad 2 $$
Hallo certi,
das ist richtig
Du hast die vollständige Induktion verstanden :-)
Gruß Wolfgang
etwas formaler:
Folge an mit a1 = √2 und an+1 := √(2 + an)
Behauptung:
A(n): Für alle n∈ℕ gilt an < 2
Beweis durch vollständige Induktion:
A(1): a1 = √2 < 2 ist wahr
A(n) → A(n+1):
⇔ an < 2 → an+1 < 2 ( Induktionsvoraussetzung IV)
Es gilt:
an+1 = √(2 + an) <IV √(2 + 2) = √4 = 2
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