Auflösen von Summenzeichen. Indexveränderung

Question

Hallo :)

ich habe schon wieder eine frage zu der Auflösung von Summenzeichen :)

ich hatte das hier in meinen unterlagen stehen, wir haben es wohl versucht zu vereinfachen..

aber irgendetwas stimmt da nicht.. links und rechts kommen leider nicht die selben Ergebnisse raus..

findet jemand den Fehler :( ich habe schon verzweifelt gesucht aber einfach nichts gefunden..

Answer 1

Hallo Ayleen,

die Umformung ist richtig und in beiden Fällen ergibt sich die Summe 117 .

Wenn du deine Ausrechnung deiner falschen Summe(n) postest, können wir den Fehler suchen.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang :)

also ich habe alles etwas durcheinander..

würdest du mir vielleicht erklären können, wie man von der linken Seite auf das, auf der rechten Seite kommt & wie die rechte aussehen würde, wenn zb auf der linken Seite k=3 wäre?

Dann würde ich gerne noch einmal alles sauber nachrechnen und dir noch mal zeigen, wenn du Lust hast :)

Liebe Grüße :)

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von 1 bis 9 verstehe ich glaube ich noch, dass ist denke ich weil es 9 Einheiten von 4 bis 12 sind... Aber bei dem rest verstehe ich es nicht mehr.. und ich denke das wäre aber notwendig wenn ich zb eine andere zahl für k gegeben hätte :/

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Das Ganze wird übersichtlicher wenn du rechts die "Laufvariable"  k, die ja sowieso feste Werte annimmt, anders nennst:

setze i = k - 3  (also k = i +3) , dann hat man 

\(\sum\limits_{k=4}^{12} (2k-3)\)  =  \(\sum\limits_{i = 1}^{9} ( 2·(i+3) -3 )\) 

\(\sum\limits_{k=4}^{12} (2k-3)\)  =  2*4-3 + 2*5-3 + ... + 2*12-3 = 117    [ k ] 

 \(\sum\limits_{i = 1}^{9} ( 2·(i+3) -3 )\) = 2·(1+3)-3 +  2·(2+3)-3 + ... + 2·(9+3)-3 = 117  [ i ]

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und wie würde das ganze aussehen wenn dort stehen würde:

$$ \sum_{k=3}^{6}({2k-3} )$$

und wie schließt man denn auf i = k-3? Tut mir leid, stehe etwas auf dem schlauch..

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ich verstehe es leider irgendwie mit der Umformung nicht..

ich würde bei diesem hier eventuell wegen der additivität die beiden auseinander ziehen also 2k und -3 und so weiter rechnen.. das ist das eine.. aber wie funktioniert das speziell wie mit der umformung im Bild oben?.. ich begreife das einfach nicht

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Man will wohl bei der rechten Summe unten unbedingt auf  i =1 kommen, um irgendeine Formel anzuwenden. 

Letztere haben unten meist k=1 oder k=0 stehen (oder wie immer man k dort nennt). und das geht wegen k=4 halt nur mit i=k-3 .

\(\sum\limits_{k=3}^{6} (2k-3)\) = \(\sum\limits_{i=1}^{4} (2(i+2)-3)\)  

mit i = k-2 , also k = i+2 

[ oder z. B.  auch \(\sum\limits_{k=3}^{6} (2k-3)\) =  \(\sum\limits_{i=0}^{3} (2(i+3)-3)\)  

mit i = k-3 , also k = i+3 , je nachdem, was man mit der Umformung erreichen will ] 

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super vielen vielen dank, jetzt habe ich es endlich verstanden :)

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mach ich doch gern (sonst würde ich es ja nicht machen)    :-) 

Answer 2

Was im Bild gemacht wurde nennt man z.B. Indexverschiebung. Dafür sollte es irgendeinen Grund geben. So isoliert ist die Summe rechts nicht einfacher auszurechnen als die Summe links.

und wie würde das ganze aussehen wenn dort stehen würde:

$$ \sum_{k=3}^{6}({2k-3} )$$   | Substitution i:= k-2 ==> i+2 = k 

$$= \sum_{i=1}^{4}({2(i+2)-3} )$$