Beweisen Sie, dass die Folge an eine Nullfolge ist und dass die gegebene Reihe divergiert.

Question

$$ Für\quad n\quad \in \quad ℕ\quad sei:\\ \\ \quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { 2 }{ n+1 } ,\quad falls\quad n\quad ungerade\quad ist\\ { a }_{ n }\quad =\quad (\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { 1 }{ n } ,\quad falls\quad n\quad gerade\quad ist\\ \\ \\ (a)\quad Beweisen\quad Sie,\quad dass\quad die\quad Folge\quad { (a }_{ n })_{ n\quad \in \quad ℕ }\quad eine\quad Nullfolge\quad ist.\\ (b)\quad Beweisen\quad Sie,\quad dass\quad die\quad Reihe\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ n } } { a }_{ n }\quad divergiert.\\ (c)\quad Warum\quad ist\quad (b)\quad kein\quad Gegenbeispiel\quad zu\quad Konvergenzkriterium\quad von\quad Leibniz? $$

Comments

Hi, sitze grad an der gleichen Aufgabe, hast du schon eine Lösung gefunden?

Zu a) Zeige einfach dass 2/n+1 und 1/n Teilfolgen von a_n sind (nämlich a_2n-1 und a_2n). Dann zeige dass beide Folgen gegen 0 konvergieren, daraus folgt dass auch a_n gegen 0 konvergiert.

Bei b) Stehe ich total auf dem Schlauch. Habe die Reihe bisher in zwei Partialsummen zerlegt:

Σ^∞_n=1 (-1)ⁿ·a_n = Σ^∞_n=2n-1 -(2/n+1) + Σ^∞_n=2n 1/n

Keine Ahnung ob das der richtige Ansatz ist und nach welchem Kriterium man hier vorgehen muss

Answer 1

betrachte vielleicht die Folge der \(2N\)-ten Partialsummen$$S_{2N}=\sum_{n=1}^{2N}(-1)^na_n=\sum_{n=1}^N(a_{2n}-a_{2n-1})=\sum_{n=1}^N\left(\frac1{2n}-\frac1n\right)=-\frac12\sum_{n=1}^N\frac1n,$$und stelle fest, dass die nicht beschränkt ist, also kein Grenzwert existiert.

Die Folge \(a_n\) ist nicht monoton, deshalb ist Leibniz nicht anwendbar.

MfG