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Fu¨rnNsei : 2n+1,fallsnungeradeistan=(1n,fallsngeradeist(a)BeweisenSie,dassdieFolge(an)nNeineNullfolgeist.(b)BeweisenSie,dassdieReihen=1(1)nandivergiert.(c)Warumist(b)keinGegenbeispielzuKonvergenzkriteriumvonLeibniz? Für\quad n\quad \in \quad ℕ\quad sei:\\ \\ \quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { 2 }{ n+1 } ,\quad falls\quad n\quad ungerade\quad ist\\ { a }_{ n }\quad =\quad (\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac { 1 }{ n } ,\quad falls\quad n\quad gerade\quad ist\\ \\ \\ (a)\quad Beweisen\quad Sie,\quad dass\quad die\quad Folge\quad { (a }_{ n })_{ n\quad \in \quad ℕ }\quad eine\quad Nullfolge\quad ist.\\ (b)\quad Beweisen\quad Sie,\quad dass\quad die\quad Reihe\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n } } { a }_{ n }\quad divergiert.\\ (c)\quad Warum\quad ist\quad (b)\quad kein\quad Gegenbeispiel\quad zu\quad Konvergenzkriterium\quad von\quad Leibniz?

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Hi, sitze grad an der gleichen Aufgabe, hast du schon eine Lösung gefunden?

Zu a) Zeige einfach dass 2/n+1 und 1/n Teilfolgen von an sind (nämlich a2n-1 und a2n). Dann zeige dass beide Folgen gegen 0 konvergieren, daraus folgt dass auch an gegen 0 konvergiert.


Bei b) Stehe ich total auf dem Schlauch. Habe die Reihe bisher in zwei Partialsummen zerlegt:

Σn=1 (-1)n·a= Σn=2n-1 -(2/n+1) + Σn=2n 1/n

Keine Ahnung ob das der richtige Ansatz ist und nach welchem Kriterium man hier vorgehen muss

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betrachte vielleicht die Folge der 2N2N-ten PartialsummenS2N=n=12N(1)nan=n=1N(a2na2n1)=n=1N(12n1n)=12n=1N1n,S_{2N}=\sum_{n=1}^{2N}(-1)^na_n=\sum_{n=1}^N(a_{2n}-a_{2n-1})=\sum_{n=1}^N\left(\frac1{2n}-\frac1n\right)=-\frac12\sum_{n=1}^N\frac1n,und stelle fest, dass die nicht beschränkt ist, also kein Grenzwert existiert.

Die Folge ana_n ist nicht monoton, deshalb ist Leibniz nicht anwendbar.

MfG

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