Beweis ℚ[i] ={a+ib | a,b ∈ ℚ} ⊆ ℚ ist ein Körper

Question

Guten Tag MatheLounge,

undzwar muss ich zurzeit beweisen, dass:

nachweisen muss nur wie?

Bsp. ich möchte zeigen, dass die gegebene Menge das Assoziativgesetz bzg. der Addition erfüllt, jedoch kann ich doch nicht das Kommutativgesetz, Neutrales Element sowie das Inverse Element anwenden, da diese ja auch nicht bewiesen sind oder?

Ich habe es so versucht:

(Beweis des Assoziativgesetzes bzg. der Addition)

Oder ist mein Vorgehen falsch?

BlackFrost

Comments

ℂ ist als Koerper bekannt und ℚ[i] ist eine Teilmenge von ℂ, wobei die Addition/Multiplikation in ℚ[i] von ℂ uebernommen wird.

Es gilt also schon (a+b)+c = a+(b+c) für alle a,b,c ∈ ℂ. Meinst Du, da geht was dran kaputt, wenn man nur noch a,b,c aus einer Teilmenge von ℂ betrachtet?

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D.h. da C bekannt ist, dass dessen Gruppeneigenachaften auf Q[i] vererbt werden?

Nur ich denke ich muss das hier explizit nachweisen.

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Vererben tun sich die Rechenregeln (Assoziativitaet, Kommutativitaet, Distributivitaet). Was sich nicht vererbt, sind die Axiome, wo "es gibt" davor steht. Die Abgeschlossenheit von Addition und Multiplikation vererbt sich auch nicht.

Damit kannst Du eine Liste der Punkte zusammenstellen, die noch ueberprueft werden muessen.

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Hilft mir gerade nicht weiter. Tut mir leid.

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Mir ist es egal. Es ist Dein Problem.

Answer 1

vom Prinzip musst Du alle Körperaxiome überprüfen. Da aber \( \Bbb Q[i] \subset \Bbb C \), kannst Du weitgehend damit antworten: "Gilt in \( \Bbb Q[i] \), weil gültig in \( \Bbb C \)".

Prüfe, wo das so geht, alles andere musst Du dann direkt beweisen.

Grüße,

M.B.