Question

Zeigen Sie nur mit Hilfe der Körperaxiome: In jedem Körper K gilt: (-1) * (-1) = 1. (Hierbei ist "-1" das additive Inverse vom multiplikativen neutralen Element 1.)

• Die Körperaxiome sind: (K, +) und (K ∖ {0}, *  ) sind abelsche Gruppen; Distributivität (a(b + c) = ab + ac und (a + b)c = ac + bc).

• Die Axiome einer abelschen Gruppe (G, ο) sind: Assoziativität (a ο (b ο c) = (a ο b) ο c); Existenz eines neutralen Elements e (a ο e = e ο a = a); Existenz inverser Elemente a^-1 (a ο a^-1 = a^-1ο a = e); Kommuativität (a ο b = b ο a).

Comments

Was habe ich hier falsch gemacht?  

Answer 1

Du sollst nicht die Koerperaxiome nachrechnen; die gelten, weil in der Vorausetzung zur Aufgabe steht, dass ein Koerper vorliegt. Ausserdem hast Du gar keine Handhabe, um die Koerperaxiome nachzurechnen; K ist nicht konkret gegeben.

Du sollst vielmehr die Koerperaxiome benutzen, um die Gleichung (-1) · (-1) = 1 zu bestaetigen. Diese Gleichung stimmt genau dann, wenn -1 das additive Inverse zu (-1) · (-1) ist. (Warum?) Das kannst Du jetzt nachrechnen.

Comments

Sieht das so aus? Ich komme nicht weiter...

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Bis zur vorletzten Zeile ist das richtig und zielfuehrend. Was aber soll die letzte? Vielleicht solltest Du Dir noch mal klarmachen, was ueberhaupt das Ziel der Rechnung ist.

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Bisher habe ich immer Aufgabe mit der Nachrechnung der Körpeaxiome gemacht. So was verstehe ich nicht :(

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Du sollst die Gleichung \((-1)\cdot(-1)+(-1)=0\) bestaetigen. Dazu sollst Du die linke Seite mit den Rechenregeln, die in den Koerperaxiomen verbuergt sind, so lange bearbeiten, bis tatsaechlich \(=0\) dasteht. Bisher hast Du es auf $$\begin{aligned}(-1)\cdot(-1)+(-1)&=(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot1\\ &=(-1)\cdot((-1)+1)\end{aligned}$$ gebracht. Der Rest fehlt noch.

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Vielleicht so? Aber wenn (-1)*(-1) + (-1) * 1 neutrales Element der Multiplikation
und (-1)*((-1)+1) Distributivgesetz, dann was ist (-1)*0?

Und muss man noch was zeigen damit die Antwort vollständig ist?

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Wieso schreibst Du ueber die Rechnung, die zeigt, dass -1 das additive Inverse zu (-1)·(-1) ist, drueber: "-1 ist das additive Inverse zu 1"? Das wussten wir schon vorher.

Es fehlen noch zwei Dinge:

1) Die Regel x · 0 = 0 · x = 0 für alle Koerperelemente x. Wenn die nicht schon in einer anderen Aufgabe dran war, musst Du sie auch noch aus den Axiomen ableiten, da Du sie am Schluss verwendest.

2) Natuerlich fehlt noch die Pointe. Erschliesse aus der Tatsache, dass -1 das additive Inverse zu (-1)·(-1) ist, dass  (-1)·(-1) = 1 sein muss.