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Man berechne das Taylorpolynom Tn(x) von f(x) = cos x um x0= Pi/6

 wird die Funktion durch die entsprechende Taylorreihe dargestellt, d.h. gilt f(x) = lim Tn(X) für n gegen Unendlich?

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Man berechne das Taylorpolynom Tn(x) von f(x) = cos x um x0= Pi/6

f ' (x) = - sin(x)  also f ' ( pi/6) = -1/2

f ' '  (x) = - cos(x)  also f ' ' ( pi/6) = -1/2 * √3

f ' ' '  (x) = sin(x)  also f ' ' ' ( pi/6) = 1/2

f (4) (x)  =  cos(x)   also f (4) ( pi/6) = 1/2 * √3   etc.

Tn(x) =  1/2 * √3    -1/2 * (x -pi/6)    -1/2 * √3   /2!  * (x -pi/6)2 + (1/2) / 3! * (x -pi/6)3   + 1/2 * √3 / 4! *(x -pi/6)4  -(1/2)/5! *(x -pi/6)4  + .....

          =  (1/2) * (   √3    - (x -pi/6)    - √3   /2!  * (x -pi/6)2 + (1/ 3! ) * (x -pi/6)3   + √3 / 4! *(x -pi/6)4   - (1/5! ) *(x -pi/6)4  + .....

Damit man immer abwechseln   √3  und  1 hinbekommt , nimmt man davon die Mitte + (-1)n * halber Unterschied

und das Vorzeichen immer nach 2-mal wechseln geht wohl mit der Gaussklammer  ( -1) [k/2]  , also

$$ \frac { 1 }{ 2 } \sum_{k=0}^{n}( { (-1) }^{ [\frac { k }{ 2 }] })({ \frac { 1+\sqrt { 3 } }{ 2 }+(-1)^n \frac {\sqrt { 3 }- 1 }{ 2 }} )(x-\frac {π }{ 6 } )^k $$



 

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