Man berechne das Taylorpolynom Tn(x) von f(x) = cos x um x0= Pi/6
f ' (x) = - sin(x) also f ' ( pi/6) = -1/2
f ' ' (x) = - cos(x) also f ' ' ( pi/6) = -1/2 * √3
f ' ' ' (x) = sin(x) also f ' ' ' ( pi/6) = 1/2
f (4) (x) = cos(x) also f (4) ( pi/6) = 1/2 * √3 etc.
Tn(x) = 1/2 * √3 -1/2 * (x -pi/6) -1/2 * √3 /2! * (x -pi/6)2 + (1/2) / 3! * (x -pi/6)3 + 1/2 * √3 / 4! *(x -pi/6)4 -(1/2)/5! *(x -pi/6)4 + .....
= (1/2) * ( √3 - (x -pi/6) - √3 /2! * (x -pi/6)2 + (1/ 3! ) * (x -pi/6)3 + √3 / 4! *(x -pi/6)4 - (1/5! ) *(x -pi/6)4 + .....
Damit man immer abwechseln √3 und 1 hinbekommt , nimmt man davon die Mitte + (-1)n * halber Unterschied
und das Vorzeichen immer nach 2-mal wechseln geht wohl mit der Gaussklammer ( -1) [k/2] , also
$$ \frac { 1 }{ 2 } \sum_{k=0}^{n}( { (-1) }^{ [\frac { k }{ 2 }] })({ \frac { 1+\sqrt { 3 } }{ 2 }+(-1)^n \frac {\sqrt { 3 }- 1 }{ 2 }} )(x-\frac {π }{ 6 } )^k $$
