Sei \( V:=\mathbb{R}^{2} \) und sei \( \alpha: V \rightarrow V \) eine \( \mathbb{R} \)-lineare Abbildung, die folgende Eigenschaft hat: \( (1,1)^{\alpha}=(-1,1) \) und \( (1,-1)^{\alpha}=(-1,-1) \)
(a) Zeigen Sie, dass \( \alpha \) durch diese beiden Bilder eindeutig bestimmt ist!
(b) Berechnen Sie die Bilder der Vektoren \( (1,0) \) und \( (0,1) \) !
(c) Sei \( \hat{B} \) die geordnete Standardbasis von \( V \). Berechnen Sie die Matrix \( \mathcal{M}(\alpha, \hat{B}, \hat{B}) \) und bestimmen Sie die Eigenwerte von \( \alpha \) in \( \mathbb{R} \) !
(d) Zeigen Sie, dass \( \alpha \) bijektiv ist, und bestimmen Sie die Umkehrabbildung!
(e) Ist \( \alpha \) diagonalisierbar?
(f) Beschreiben Sie \( \alpha \) geometrisch! (Kurz.)
