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a) Beweisen Sie den folgenden Satz mit Fallunterscheidung bezüglich der Reste beim Teilen durch 3.

Satz: Seien a und b zwei natürliche Zahlen, so dass weder a noch b durch 3 teilbar sind, dann ist die Zahl c = a + b oder die Zahl d = a - b NICHT durch 3 teilbar.

b) Beweisen Sie den folgenden Satz durch Kontraposition!

Satz: Ist (mindestens) eine der ganzen Zahlen a und b NICHT durch 5 teilbar, dann ist auch (mindestens) eine der Zahlen c = a + 2b und d = a + 3b NICHT durch 5 teilbar.
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(a)

Nach Voraussetzung haben a und b jeweils den Rest 1 oder 2 beim Teilen durch 3.

Fall 1: a/3 hat Rest 1, also gibt es eine ganze Zahl m, so dass a=3m+1

Fall 1a: b/3 hat Rest 1, also gibt es eine ganze Zahl n, so dass b=3n+1

c=a+b=3m+1+3n+1=3(m+n)+2

d=a-b=3m+1-(3n+1)=3(m-n)

d ist durch 3 teilbar, c aber NICHT

Fall 1b: b/3 hat Rest 2, also gibt es eine ganze Zahl n, so dass b=3n+2

 

c=a+b=3m+1+3n+2=3(m+n+1)

d=a-b=3m+1-(3n+2)=3(m-n)-1

c ist durch 3 teilbar, d aber NICHT

Fall 2: a/3 hat Rest 2, also gibt es eine ganze Zahl m, so dass a=3m+2

 

Fall 2a: b/3 hat Rest 1, also gibt es eine ganze Zahl n, so dass b=3n+1

c=a+b=3m+2+3n+1=3(m+n+1)

d=a-b=3m+2-(3n+1)=3(m-n)+1

c ist durch 3 teilbar, d aber NICHT

Fall 2b: b/3 hat Rest 2, also gibt es eine ganze Zahl n, so dass b=3n+2

c=a+b=3m+2+3n+2=3(m+n+1)+1

d=a-b=3m+2-(3n+2)=3(m-n)

d ist durch 3 teilbar, c aber NICHT

 

(b)

Die Behauptung der Kontraposition muss lauten:

Sind SOWOHL a+2b ALS AUCH a+3b durch 5 teilbar, so sind a UND b durch 5 teilbar.

Beweis:

Nach Voraussetzung (der Kontraposition) gibt es zwei ganze Zahlen m und n, so dass

a+2b=5m  (I)

a+3b=5n (II)

(I) + (II) liefert

2a+5b=5(m+n) => (2/5)a+b=m+n

Also muss a ein Vielfaches von 5 sein, da sonst m oder n oder beide keine ganze Zahl wären.

Es gibt also eine ganze Zahl p, so dass a=5p

Das verwenden wir jetzt in Gleichung (I) und erhalten

5p+2b=5m => p+(2/5)b=m

Also muss auch b ein Vielfaches von 5 sein.

Die Behauptung der Kontraposition, und damit auch die ursprüngliche Behauptung, ist also bewiesen.

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