(a)
Nach Voraussetzung haben a und b jeweils den Rest 1 oder 2 beim Teilen durch 3.
Fall 1: a/3 hat Rest 1, also gibt es eine ganze Zahl m, so dass a=3m+1
Fall 1a: b/3 hat Rest 1, also gibt es eine ganze Zahl n, so dass b=3n+1
c=a+b=3m+1+3n+1=3(m+n)+2
d=a-b=3m+1-(3n+1)=3(m-n)
d ist durch 3 teilbar, c aber NICHT
Fall 1b: b/3 hat Rest 2, also gibt es eine ganze Zahl n, so dass b=3n+2
c=a+b=3m+1+3n+2=3(m+n+1)
d=a-b=3m+1-(3n+2)=3(m-n)-1
c ist durch 3 teilbar, d aber NICHT
Fall 2: a/3 hat Rest 2, also gibt es eine ganze Zahl m, so dass a=3m+2
Fall 2a: b/3 hat Rest 1, also gibt es eine ganze Zahl n, so dass b=3n+1
c=a+b=3m+2+3n+1=3(m+n+1)
d=a-b=3m+2-(3n+1)=3(m-n)+1
c ist durch 3 teilbar, d aber NICHT
Fall 2b: b/3 hat Rest 2, also gibt es eine ganze Zahl n, so dass b=3n+2
c=a+b=3m+2+3n+2=3(m+n+1)+1
d=a-b=3m+2-(3n+2)=3(m-n)
d ist durch 3 teilbar, c aber NICHT
(b)
Die Behauptung der Kontraposition muss lauten:
Sind SOWOHL a+2b ALS AUCH a+3b durch 5 teilbar, so sind a UND b durch 5 teilbar.
Beweis:
Nach Voraussetzung (der Kontraposition) gibt es zwei ganze Zahlen m und n, so dass
a+2b=5m (I)
a+3b=5n (II)
(I) + (II) liefert
2a+5b=5(m+n) => (2/5)a+b=m+n
Also muss a ein Vielfaches von 5 sein, da sonst m oder n oder beide keine ganze Zahl wären.
Es gibt also eine ganze Zahl p, so dass a=5p
Das verwenden wir jetzt in Gleichung (I) und erhalten
5p+2b=5m => p+(2/5)b=m
Also muss auch b ein Vielfaches von 5 sein.
Die Behauptung der Kontraposition, und damit auch die ursprüngliche Behauptung, ist also bewiesen.
