Körper K und der K- Vektorraum, ist U ein Unterraum?

Question

Bei dieser Aufgabe habe ich einige Schwierigkeiten!

Teil 1

Gegeben sei ein Körper K und der K- Vektorraum V= K x K sowie die Menge U: = ⟨(x_1,x₂) Ι (x₁, x₂) ∈ V, x₁²+x₂² = 0⟩

Untersuchen Sie für K ∈ ⟨ℝ, ℤ₂, ℤ₅ ⟩, ob U ein Unterraum von V ist.

Teil 2

Sei V ein K.- Vektorraum und U ein Unterraum von V. Ferner seien v₁ und v₂ ∈ V und S: = ⟨U ∪ ⟨v₁⟩⟩ und T:= ⟨U ∪ ⟨v₂⟩⟩.

Zeigen Sie: ist  v₂ ∈ S ohne U, so ist v₁ ∈ T.

Comments

Auf welche Schwierigkeiten bist du gestoßen?

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Ich habe Schwierigkeiten den Beweis aufzustellen, ich verstehe die Aufgabe teilweise, aber weiß nicht genau wie ich es aufschreiben soll.

Beim zweiten Teil, denke ich, dass ich zeigen muss das S und T in U liegen. Bin mir aber nicht sicher.

Answer 1

U: = ⟨(x_1,x₂) Ι (x₁, x₂) ∈ V, x₁²+x₂² = 0⟩

Untersuchen Sie für K ∈ ⟨ℝ, ℤ₂, ℤ₅ ⟩, ob U ein Unterraum von V ist.

ℝ:    U besteht nur aus (0;0) , also Unterraum

ℤ₂, :  U = { (0;0) , ( 1;1) } ist Unterraum

ℤ₅ :     U enthält  ( 1;2)  und (1;3)  aber nicht deren Summe, also

kein Unterraum.

Comments

Muss ich das mit der Definition für Unterräume beweisen? Also das Unterräume im Schnitt 0 sind, usw?

Ich verstehe nicht ganz wie du hier auf die Zahlen kommst:

ℤ₂, :  U = { (0;0) , ( 1;1) } ist Unterraum

ℤ₅ :     U enthält  ( 1;2)  und (1;3)  aber nicht deren Summe, also

kein Unterraum.