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Ein kugelförmiger Wasserbehälter mit dem Radius r = 2 soll durch gegenüberliegende tangential (am Querschnitt) angebrachte Halteseile von den Punkten A(5|-10) und B(-5|-10) aus abgesichert werden.
Der Koordinatenursprung liegt im Mittelpunkt des Wasserbehälters (1 Einheit = 1 Meter).

1. Bestimmen Sie die Punkte P und Q an denen die Halterungen am Wasserbehälter angebracht werden müssen.

2. Bestimmen Sie die Länge der Sicherungsseile.

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Hi,

Bild Mathematik


 


Hier mal ein Skizze. Der blaue Punkt rechts sei A und der Tangentenpunkt dazu (also rechts am Kreis) sei P. Der Mittelpunkt des Kreises ist M.


Es muss gelten: MP*AP = 0, denn die stehen senkrecht aufeinander.

Zudem gilt |MP|^2 = r^2


Für ersteres:

$$PM = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x\\-y \end{pmatrix}$$

$$PA = \begin{pmatrix} 5\\-10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-x\\-10-y \end{pmatrix}$$


Mit dem Skalarprodukt von oben:

$$\begin{pmatrix} -x\\-y \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 5-x\\-10-y \end{pmatrix} = 0$$

$$-5x+x^2+10y+y^2 = 0$$


Aus letzterem
$$x^2 + y^2 = 4$$

$$x^2+y^2-4 = 0$$


Gleichsetzen der beiden Bedingungen:

$$-5x+x^2+10y+y^2 = x^2+y^2-4$$

$$y = \frac x2-\frac25$$

Das wieder in die zweite Gleichung einsetzen:

$$x^2-\frac{8}{25}\cdot x-\frac{384}{128} = 0$$

pq-Formel liefert:

$$x_{1} = 1,92$$

$$x_{2} = -1,6$$

Damit wieder in die Geradengleichung:

$$y_{1} = 0,56$$

$$y_{2} = -1,2$$


Die letztere Lösung suchen wir nicht (bei mir im Bild mit G bezeichnet) sondern nur die erstere:

P(1,92|0,56)


Die zweite Lösung (Q) geht genauso, oder man argumentiert über die Symmetrie -> Q = (-1,92|0,56)


Grüße

von 134 k

Vielen Dank für die Lösung!


Ich bin auf die gleiche Lösung gekommen, allerdings um Punkt Q auszurechnen komme ich mit der PQ-Formel nicht weiter, da bei mir dann Mathefehler angezeigt wird. Könnte ich dementsprechend wirklich damit argumentieren, dass durch die Symmetrie Q(-1,92/0,56) ist?

Hast Du bei der pq-Formel eventuell einen Vorzeichenfehler gemacht oder so? Eigentlich sollte das klappen.

Würde aber ohnehin über die Symmetrie argumentieren. Das braucht 5 Sekunden. Die Rechnung erneut zu machen braucht deutlich länger ;).

+2 Daumen

Mit einem Halteseil sieht das im Querschnitt so aus:

~draw~ kreis(0|0 2);gerade(0.8|1.8 5|0);zoom(10) ~draw~

Berechnung des Berührpunktes (x;y) über

Kreisgleichung 

(Abstand von (0;0) =2 mitPythagoras )    x2 + y2 = 4

und Berührradius senkrecht zur Tangente, also Produkt der

Steigungen = -1 gibt dann

(   y/x   )   *  (  -y / (5-x) ) = -1

bzw   -y2 /   (x*(5-x)= = -1   also y2 =   x*(5-x)

(bekommt man auch durch: Skalarprodukt der Vektoren ist 0)

also    x2 +  x*(5-x)  = 4   gibt x = 0,8  und y = ±1,83

von 152 k

Moin,


hast Du A(5|-10) berücksichtigt?

Hab wohl die 1 übersehen,  (5;0) ging auch ganz gut

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