Untervektorraum und R^3

Question

Brauche Hilfe zu folgenden Aufgaben.

Bei der 1 Aufgabe muss ich von der Menge M ein Untervektorraum zeigen..

Bei der 2 Aufgabe verstehe ich nicht wie man auf die Zahlen kommt..

Answer 1

zu 1) Zeige, dass für je zwei Elemente von V1 auch deren Summe in V1 ist

und für jedes El.  v von V1 das Produkt einer reellen Zahl mit v auch in V1 ist, etwa so:

Seien u und v aus V1 also u=(u1 ,u2 ,  0 ) und  v=(v1 ,v2 ,  0 )

dann ist u+v = (u1+v1 ,u2+v2 ,  0 ) auch aus V1; denn die 3. Komponente ist eine 0

entsprechend bei x*u .

V1 ∩ V2 sind alle Tripel mit 3. und 2. Komponente 0, also solche ( x , 0 , 0 ) .

Diese sind alle Vielfache von (1,0,0) , also ist die einelementige Menge

{  (1,0,0) } ein Erzeugendensystem und weil sie lin. unabh. ist auch eine

Basis für V1 ∩ V2. Die Anzahl der Elemente einer Basis ist die Dimension,

also dim ( V1 ∩ V2) = 1.

Comments

Hab das so gemacht. Stimmt das und wie zeigt man es mit der skalaren Vielfachen eines Elements.

danke

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Stimmt das auch ?

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Ist es bei V2 un d V3 nicht so:  1. und 2. Komponente = 0. ?

und für jedes El.  v von V1 das Produkt einer reellen Zahl mit v auch in V1 ist

skalare Vielfache, also , wenn u=(u1 ,u2 ,  0 )

Dann ist x*u   =(x*u1 ,x*u2 ,  0 )  also auch 3. Komp. = 0,

also aus V1.

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Ja 1 und 2 Komponente sind 0

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Bei der Berechnung der Dimensionsformel (siehe Aufgabe f) oben im ersten Bild.

wie ist man auf 2+2-1 gekommen ? Das ist doch beispielsweise V1={(x,y,0)/ x,y e R} also x und y zwei und die Null eine 1 also 2+2-1=3

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Da geht es um dim (V1 +V2)

Und z.B. dim(V1) = 2 , weil die Vektoren (1,0,0) und (0,1,0) eine Basis für V1 bilden,

Und Basis aus 2 Vektoren heißt :   dim = 2.