abschätzen Summe mit e-funktion

Question

Hab da mal eine Frage, wie Beweise ich diese Abschätzung?

Weil ich weiß nicht so recht wie man da drauf kommt. Muss man das mit vollständiger Induktion machen?

Comments

Wo genau siehst du eine e-Funktion?

EDIT: Antwort auf Scherz von Mathecoach im folgenden Kommentar versteckt sich in folgendem Video.

 

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Na das Summenzeichen ist doch ein großes E.

Hast du das etwa nicht gesehen ;-)

Obwohl das Summenzeichen ist ja offenbar richtig erkannt worden.

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Wäre vollständige Induktion eine Idee, weil sonst wüsste ich nicht, wie ich das abschätzen sollte

Answer 1

Das enscheidende ist der Tipp, der unter der Aufgabe steht.

Verteile doch mal in Gedanken den Wert von $a$ auf die $x_i$. Z.B. so ungleichmäßig, so dass für genau ein $i$ $x_i=a$ ist und $x_j=0$ für alle $j$ mit  $j \ne i$. Dann ist doch schnell zu sehen, dass die Summe auf der linken Seite zu 0 wird. Da sie offensichtlich auch nicht kleiner als 0 sein kann (da $x_i \ge 0$ für alle $i$), muss es sich dabei wohl um ein Minimun handeln.

Im nächsten Versuch wird alles gleichmäßig verteilt. Das gibt $x_i=a/n$ für alle $i$. D.h. alle Produkte haben den gleichen Wert $a^2/n^2$. Aber wie viele Produkte bzw. Summanden liegen denn vor?  Dazu schreibe ich alle Summanden in eine Tabelle

	x1	x2	x3	x4	x5
x1		x1*x2	x1*x3	x1*x4	x1*x5
x2			x2*x3	x2*x4	x2*x5
x3				x3*x4	x3*x5
x4					x4*x5
x5

Die Anzahl der Elemente in der Tabelle - und damit die Anzahl der Summanden - entspricht den Dreieckszahlen - und die lassen sich mit der Gauß'schen Summenformel für $n-1$ berechnen. Also ist die Summe oben, für den Fall dass alle $x_i=x_j$ sind:

$$\sum=\frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{a^2}{n^2}=\frac{1}{2}\left( \frac{n-1}{n}\right) a^2=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{n}\right) a^2$$

... was genau dem Term auf der rechtem Seite entspricht. Als nächstes variiere ich zwei Werte mit den Indizes $k$ und $l$ derart um einen ausreichend kleinen, aber positiven Wert $\epsilon>0$, dass $x_k=(1 + \epsilon)a/n$ und $x_l=(1 - \epsilon)a/n$. Da jedes $x_i$ genau $n-1$ mal als Faktor in einem der Produkte vorkommt, existieren genau $n-2$ Produkte mit dem Wert $a^2/n^2(1-\epsilon)$ und $n-2$ Produkte mit dem Wert $a^2/n^2(1+\epsilon)$. Die Summe dieser zweimal $n-2$ Produkte ist also genauso groß, als ob $\epsilon=0$ wäre. Nur genau ein Produkt - nämlich $x_k\cdot x_l$ - hat den Wert $a^2/n^2(1-\epsilon^2)$ und ist somit kleiner als $a^2/n^2$. Daraus folgt, dass auch die Gesamtsumme mit wachsendem $\epsilon$ kleiner wird.

Es liegt also ein Maximum vor; und damit ist belegt, dass die Summe nie größer werden kann, als der Wert, bei dem alle $x_i$ gleich groß sind.