Question

Ein Auto fährt von A nach B, ein anderes auf der gleichen Strecke von B nach A. Sie fahren beide zum gleichen Zeitpunkt T0 los und treffen sich zu einem Zeit- punkt T1 genau auf halber Strecke. Zeigen Sie, dass es einen Zeitpunkt T mit T0 < T < T1 gibt, an dem die beiden Autos exakt die gleiche Geschwindigkeit haben.

Answer 1

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist für beide
gleich.

Die Individuelle Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt
wird mal über, mal unter der Durchschnitts-
geschwindigkeit  liegen.

Ich zeichne jetzt das v / t Diagramm für beide
Autos.
Falls ein Auto stets unterhalb oder oberhalb des
v / t Diagramms des anderen Autos ist gibt es
keinen Punkt an dem die Autos einmal dieselbe
Geschwindigkeit haben.
Dies ist aber nicht möglich sonst würde die
Durchschnittsgeschwindigkeit verschieden sein.

Zu ( mindestens ) irgendeinem Zeitpunkt haben
sich die Geschwindigskeitskurven einmal geschnitten.

Answer 2

Hi,
der zurückgelegte Weg berechnet sich aus
$$ s(t) = \int_{t_0}^t v_1(\tau) d\tau + s_0 $$ D.h. es gilt
$$ s_1(t_1) = \int_{t_0}^{t_1} v_1(\tau) d\tau + A = \frac{A+B}{2} $$ und
$$ s_2(t_1) = \int_{t_0}^{t_1} v_2(\tau) d\tau + B = \frac{A+B}{2} $$ also
$$ \int_{t_0}^{t_1} v_1(\tau) d\tau = \frac{B-A}{2} = -\int_{t_0}^{t_1} v_2(\tau) d\tau $$
Also $$ \int_{t_0}^{t_1} \left( v_1(\tau) + v_2(\tau) \right) d\tau = 0 $$
Aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung folgt für einen stetigen Geschwindigkeitsverlauf, es ex. ein \( \tilde \tau \in [t_0,t_1]\) mit
$$ \left( v_1(\tilde \tau) + v_1(\tilde \tau)  \right) (t_1 - t_0 ) = 0 $$
Also gilt $$ v_1(\tilde \tau ) = - v_2(\tilde \tau)  $$
Somit gibt es einen Zeitpunkt, an dem der Betrag der beiden Geschwindigkeit gleich ist. Die Geschwindigkeiten selber sind aber nicht gleich, da sie ein verschiedenes Vorzeichen haben.