+1 Daumen
905 Aufrufe

Ein Auto fährt von A nach B, ein anderes auf der gleichen Strecke von B nach A. Sie fahren beide zum gleichen Zeitpunkt T0 los und treffen sich zu einem Zeit- punkt T1 genau auf halber Strecke. Zeigen Sie, dass es einen Zeitpunkt T mit T0 < T < T1 gibt, an dem die beiden Autos exakt die gleiche Geschwindigkeit haben.

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist für beide
gleich.

Die Individuelle Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt
wird mal über, mal unter der Durchschnitts-
geschwindigkeit  liegen.

Ich zeichne jetzt das v / t Diagramm für beide
Autos.
Falls ein Auto stets unterhalb oder oberhalb des
v / t Diagramms des anderen Autos ist gibt es
keinen Punkt an dem die Autos einmal dieselbe
Geschwindigkeit haben.
Dies ist aber nicht möglich sonst würde die
Durchschnittsgeschwindigkeit verschieden sein.

Zu ( mindestens ) irgendeinem Zeitpunkt haben
sich die Geschwindigskeitskurven einmal geschnitten.

Avatar von 123 k 🚀
0 Daumen

Hi,
der zurückgelegte Weg berechnet sich aus
s(t)=t0tv1(τ)dτ+s0 s(t) = \int_{t_0}^t v_1(\tau) d\tau + s_0 D.h. es gilt
s1(t1)=t0t1v1(τ)dτ+A=A+B2 s_1(t_1) = \int_{t_0}^{t_1} v_1(\tau) d\tau + A = \frac{A+B}{2} und
s2(t1)=t0t1v2(τ)dτ+B=A+B2 s_2(t_1) = \int_{t_0}^{t_1} v_2(\tau) d\tau + B = \frac{A+B}{2} also
t0t1v1(τ)dτ=BA2=t0t1v2(τ)dτ \int_{t_0}^{t_1} v_1(\tau) d\tau = \frac{B-A}{2} = -\int_{t_0}^{t_1} v_2(\tau) d\tau
Also t0t1(v1(τ)+v2(τ))dτ=0 \int_{t_0}^{t_1} \left( v_1(\tau) + v_2(\tau) \right) d\tau = 0
Aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung folgt für einen stetigen Geschwindigkeitsverlauf, es ex. ein τ~[t0,t1] \tilde \tau \in [t_0,t_1] mit
(v1(τ~)+v1(τ~))(t1t0)=0 \left( v_1(\tilde \tau) + v_1(\tilde \tau) \right) (t_1 - t_0 ) = 0
Also gilt v1(τ~)=v2(τ~) v_1(\tilde \tau ) = - v_2(\tilde \tau)
Somit gibt es einen Zeitpunkt, an dem der Betrag der beiden Geschwindigkeit gleich ist. Die Geschwindigkeiten selber sind aber nicht gleich, da sie ein verschiedenes Vorzeichen haben.

Avatar von 39 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage