Extremwertaufgabe: Der Funktion f(x)= e^{−λx^2} und der x-Achse soll das größtmögliche Rechteck einbeschrieben werden.

Question

Seien λ>0 und die Funktion f definiert durch f (x): = ( x ∈ R )e^{−λx^2}
Man betrachte ein zur Ordinate symmetrisches Rechteck, dessen Grundseite auf der Abszisse liegt und dessen andere beide Eckpunkte auf dem Graphen von f liegen (s. Skizze):
(i) Wie groß müssen die Seiten des Rechteckes gewählt werden, damit das der Funktion f in der o.a. Weise einbeschriebene Rechteck maximalen Flächeninhalt hat ?

Answer 1

A = 2 * x * f(x) = 2·x·e^{- k·x^2}

A' = 2·e^{- k·x^2}·(1 - 2·k·x^2) = 0

1 - 2·k·x^2 = 0

x = 1/√(2·k)

f(1/√(2·k)) = e^{- k·(1/√(2·k))^2} = e^{- 1/2} = 1/√e

Die Seiten des Rechtecks sind 2*x = 2/√(2·k) und 1/√e

Comments

Ich verzichte hier auf einen Nachweis über die hinreichende Bedingung. Die solltest du noch anfügen.