Jordan Normalfrom über Potenz

Question

Ich habe diese Aufgabe gegeben.

Ich komme hier nicht wirklich weiter. Wäre nett falls jemand einige Tipps geben könnte..

Bin mir auch nicht sicher, ob es erforderlich ist die Eigenwerte zu berechnen, aber die sind alle 0 (alg. Vielfachheit 4).

Comments

Ich komme hier nicht wirklich weiter.

Was hast Du denn ueberhaupt bisher gemacht? Etwa gar A², A³ und A⁴ ausgerechnet wie im Tipp vorgeschlagen?

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Ja das habe ich gerade gemacht.

Bei A^4 erfolgt die Nullmatrix.

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Und was sagt uns das, dass \(A^3\ne0\), aber \(A^4=0\) ist?

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Das A genau dann Nilpotent ist, wenn A^4 = 0 ist.

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Der Satz ist grober Unfug.

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Naja. Ich hätte nicht genau dann sagen sollen. A ist erstmals Nilpotent wenn für A^4 ist denke ich mal besser..

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Das ist immer noch grober Unfug. Schlag mal die Definition von nilpotent nach. Und wenn Du schon dabei bist: Was ist das Minimalpolynom einer Matrix und welcher Zusammenhang besteht zwischen Minimalpolynom und JNF?

Alternativ: Schreibe alle moeglichen JNFen für A hin und teste, für welche davon erst die vierte Potenz verschwindet.

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Ich schreibe jetzt mal meine Gedanken auf..

Da A vom Nilpotenzgrad 4 ist, ist der längste Jordanblock von der Größe 4.

Für die Ränge folgt:

 \(Rang(A)=3\)

 \(Rang(A^2)=2\)

 \(Rang(A^3)=1\)

 \(Rang(A^4)=0\)

Daraus resultiert: 
$$A= J_4(0)=\begin{pmatrix}  0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 &0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Ist das jetzt so richtig, oder kann man etwas verbessern/ergänzen?
lg

Answer 1

Das Ergebnis stimmt jedenfalls. Mein Begruendungsvorschlag geht vom Minimalpolynom \(\mu_A(x)=x^4\) aus. Man liest daraus ab, dass der groesste Jordanblock zum Eigenwert \(0\) die Groesse \(4\times4\) hat.

Comments

Ja das Problem ist nur, dass wir bisher das Minimalpolynom nicht behandelt haben..

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Einen alternative Begruendung habe ich Dir schon genannt. Ueberlege Dir, dass sich die Eigenschaft \(A^3\ne0\) und \(A^4=0\) auf die JNF uebertraegt. Von den infrage kommenden JNFen hat nur das angegebene \(J\) die Eigenschaft \(J^3\ne0\) und \(J^4=0\).

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Mit A^4=0 folgen zwei Dinge:

1)Es kann nur den Eigenwert 0 geben,2)und das der größte Jordanblock die Länge 4 hat (Dimension ändert sich nicht mehr).
Aus Dimensionsgründen folgt für die Jordanische-Normalfrom dann  \( diag(J_4(0),J_1(0)) \)
Ich hoffe das letzte Stimmt so.

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Ne das war falsch. Die jordansche Normalfrom ist :

$$ g^{-1}Ag=diag(J_4(0) $$

Da mit A^4=0 der größte Jordan-Block die Länge 4 hat, gibt es also nur einen Jordan-Block(der länge 4)