Aufgabe:
Berechnen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung der Funktion f(x)=sin(x)e2x2 f(x)=\sin (x) e^{2 x^{2}} f(x)=sin(x)e2x2 im Entwicklungspunkt x0=0 x_{0}=0 x0=0Zeigen Sielimx→∞(cos(1x)−1)−1x2=12 \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\left(\cos \left(\frac{1}{x}\right)-1\right)}{-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{2} x→∞lim−x21(cos(x1)−1)=21und berechnen Sielimx→∞e−x2(cos(1x)−1)e−x2 \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{-x^{2}\left(\cos \left(\frac{1}{x}\right)-1\right)}}{e^{-x^{2}}} x→∞lime−x2e−x2(cos(x1)−1)Hinweis: Nutzen Sie den ersten Grenzwert zur Berechnung des zweiten.
y=sin(x)⋅e2x2 : x0=0,y(0)=0y′=e2x2(4xsin(x)+cos(x));y′(0)=1y′′=ex2((8x2+3)′sin(x)+6xcos(x))∣y′′(0)=0 alles : y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2(x−x0)2⇒y=0+1⋅(x−0)+02⋅(x−0)2y=x y= \sin (x) \cdot e^{2 x^{2}}: x_{0}=0 \quad, y(0)=0 \\ y^{\prime}=e^{2 x 2}(4 x \sin (x)+\cos (x)) \quad ; y^{\prime}(0)=1 \\ y^{\prime \prime}=e^{x^{2}}\left(\left(8 x^{2}+3\right)^{\prime} \operatorname{sin}(x)+6 x\right.\cos (x)) \quad | y''(0) = 0 \\ \text { alles: } y=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) \\ \quad+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2}\left(x-x_{0}\right)^{2} \\ \Rightarrow y=0+1 \cdot(x-0)+\frac{0}{2} \cdot(x-0)^{2} \\ y=x y=sin(x)⋅e2x2 : x0=0,y(0)=0y′=e2x2(4xsin(x)+cos(x));y′(0)=1y′′=ex2((8x2+3)′sin(x)+6xcos(x))∣y′′(0)=0 alles : y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2f′′(x0)(x−x0)2⇒y=0+1⋅(x−0)+20⋅(x−0)2y=x
a) sin(x)≈x für x nahe 0 und
e2x^2≈1+2x2
--> sin(x)*e2x^2≈x(1+2x2)
=x+2x3≈x + O(x3)
b) COS(1/x)≈1-1/(2x2) für x nahe 0,
setze dies im Grenzwertprozess ein
und kürze die x.
ich verstehe nicht wie du bei der b) vorgegangen bis um "COS(1/x)≈1-1/(2x2) für x nahe 0" zu bekommen. könntest du das bitte erläutern?
Die Taylor Entwicklung für COS(x) an x=0
lautet 1-x2/2 .
Für x gegen ∞ ist 1/x ≈0 , also kann man den Cos(1/x) in eben diese Reihe entwickeln, wobei das Argument anstatt x nun 1/x ist.
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