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Aufgabe:

Wir betrachten die Kurve k : [0,π]R3 k:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3} , definiert durch

k(t)=(sin(t)cos(15t),sin(t)sin(15t),cos(t)) k(t)=(\sin (t) \cos (15 t), \sin (t) \sin (15 t), \cos (t))

(a) Wie ist die Bogenlänge \ell von k k definiert?

(b) Berechnen Sie a a und b b derart, dass

=0πa+bsin2(t)dt. \ell=\int \limits_{0}^{\pi} \sqrt{a+b \sin ^{2}(t)} d t .


Ansatz/Problem:

(a) Bei der a verstehe ich ehrlich gesagt die Aufgabenstellung nicht ganz. Die Definition der Bogenlänge l von k wäre hier ja:

l : =0πk˙dt l :=\int_{0}^{\pi} |\dot k|dt

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Tipp:

b) Definition einsetzen und ausrechnen, dann die Argumente unter der Wurzel miteinander vergleichen und damit a und b ablesen.

2 Antworten

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a) L(k)=0πx˙(t)2+y˙(t)2+z˙(t)2 L(k)=\int \limits_{0}^{\pi} \sqrt{ \dot{x} (t)^{2}+\dot{y}(t)^{2}+\dot{z}(t)^{2}}

b) x=sin(t)cos(15t) x=\sin (t) \cos (15 t)

x˙=8cos(16(t))7cos(14(t))y=sin(t)sin(15(t))y˙=8sin(16(t))7sin(14(t))z=cos(t)z˙=sin(t) \begin{array}{l} \dot{x}=8 \cos (16(t))-7 \cos (14(t)) \\ y=\sin (t) \cdot \sin (15(t)) \\ \dot{y}=8 \sin (16(t))-7 \sin (14(t)) \\ z=\cos (t) \\ \dot{z}=-\sin (t) \end{array}

\rightarrow das Quadrat einsetzen und ausrechnen

\rightarrow die Argumente unter der Wurtel Sind za z a vergleichen

a, b \rightarrow a, ~ b ermitteln

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Du hast für x' und y' angenehmere Werte raus als ich. Wenn ich das ganze quadriere erhalte ich für x'2=225sin2(t)sin(15t)+cos2(t)cos2(15t)..

Das habe ich:

Bild Mathematik

Bild Mathematik

Alles klar.


Letzte Frage. Meine Ableitungen sahen alle so aus:
(cos(t)cos(15t)15sin(t)sin(15t)15sin(t)cos(15t)+cos(t)sin(15t)sin(t))\begin{pmatrix} cos(t)cos(15t)-15sin(t)sin(15t)\\15sin(t)cos(15t)+cos(t)sin(15t)\\-sin(t) \end{pmatrix}

Wie kamst du auf:

8cos(16t)-7sint
8sin(16t)-7sint

Irgendwie stehe ich da noch auf dem Schlauch. Sonst ist der Rest klar.

die Ableitungen stimmen auch. Kannst damit weiterrechen.

Ich habe Additionstheoreme angewandt, was nicht unbedingt nötig ist.

Alles klar. Habs jetzt mal mit meiner Ableitung gemacht. Die Wurzel wird zwar lang, aber ich komme aufs selbe Ergebnis wenn ich alles miteinander addiere (bzw. "kürze").


Vielen Dank nochmal für die Hilfe!

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l : =0πkdt l:= \int_{0}^{π}|k '|dt
=0π(sin(t)cos(15t)sin(t)sin(15t)cos(t))dt = \int_{0}^{π}|\begin{pmatrix} sin(t)cos(15t)\\sin(t)sin(15t)\\cos(t) \end{pmatrix} '|dt
=0π(cos(t)cos(15t)15sin(t)sin(15t)15sin(t)cos(15t)+cos(t)sin(15t)sin(t))dt = \int_{0}^{π}|\begin{pmatrix} cos(t)cos(15t)-15sin(t)sin(15t)\\15sin(t)cos(15t)+cos(t)sin(15t)\\-sin(t) \end{pmatrix} |dt

Jetzt wegen des Betrages: jede Komponente quadrieren , addieren und dann die Wurzel ziehen.
=0π225sin2(t)+1dt = \int_{0}^{π}\sqrt { 225sin^2(t)+1 }dt

Also a=1 und b = 225

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