Potenzieren einer Matrix möglich?

Question

Eine Matrix wird auf einen Vektor angewendet, woraus sich ein neuer Vektor ergibt.

Auf diesen neuen Vektor wird die Matrix nun erneut angewendet und so weiter immer wieder siehe Darstellung:

$$\begin{pmatrix} x _{1} \\y _{1}\\z _{1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o \end{pmatrix}$$
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$$\begin{pmatrix} x _{2} \\y _{2}\\z _{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x _{1} \\y _{1}\\z _{1} \end{pmatrix}$$

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$$\begin{pmatrix} x _{3} \\y _{3}\\z _{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x _{2} \\y _{2}\\z _{2} \end{pmatrix}$$
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$$\begin{pmatrix} x _{3} \\y _{3}\\z _{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o \end{pmatrix}$$
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$$\begin{pmatrix} x _{3} \\y _{3}\\z _{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix}^3\cdot \begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o \end{pmatrix}$$
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$$\begin{pmatrix} x _{n} \\y _{n}\\z _{n} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix}^n\cdot \begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o \end{pmatrix}$$

Gibt es eine Berechnungsmethode, den Vektor zu ermitteln, nachdem die Matrix unendlich oft angewendet wurde ?

$$\begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}= \lim_{n \rightarrow \infty} \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix}^n\cdot \begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o \end{pmatrix}$$

Nebenbedingungen:

$$(-1\lt \{a,b,c,d,e,f,g,h,i\} \lt 0) \lor (0 \lt \{a,b,c,d,e,f,g,h,i\} \lt 1)$$

Zusätzlich sind die Summen der Spaltenelemente und der Zeilenelemente in der Matrix jeweils gleich 1, also

$$a+b+c =1$$

$$d+e+f =1$$

$$g+h+i =1$$

$$a+d+g=1$$

$$b+e+h =1$$

$$c+f+i =1$$

Da gibt's doch bestimmt was, oder?

Answer 1

$$\begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix}^\infty\cdot \begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o \end{pmatrix}$$
müsste doch - sofern die Klamotte überhaupt konvergiert - auch gelten:
$$\begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}$$
Es sollte also einen Vektor geben, der nach einmaligem Anwenden der Matrix wieder sich selbst ergibt - da könnte man doch mit Eigenwert / Eigenvektor sicher was finden - sorry, dass ich da nicht vor drei Minuten draufgekommen bin !

Comments

EDIT: Du brauchst dich nicht entschuldigen. Ich habe aus deinem höchst sinnvollen Kommentar eine Antwort gemacht. 

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Dann freue ich mich, dass ich Dank dieses einzigartigen Forums meine eigene Frage selbst beantworten konnte.

Sozusagen ein Eigen(vek)tor ;)

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Wer sagt denn, dass das Verfahren übrhaupt konvergiert ?  Und wenn ja : gegen welchen der möglicherweise vorhandenen Eigenvektoren ?  Sind die Voraussetzungen des Banach'schen Fixpunktsatzes durch die angegebenen Forderungen erfüllt ?

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Die oben aufgeführten Nebenbedingungen führen zu einer Überdefinition des Systems und verhindern ein sinnvolles Ergebnis.

Die weitere Bearbeitung
$$\begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}$$---
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 &1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}$$---
$$0= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 &1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}$$---
$$\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a-1 & b &c\\ d &e-1&f\\g&h&i-1\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}$$
bringt uns zum klassischen Lösungsverfahren.
Dort sind die üblichen Verdächtigen ...

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... was zu einer traurigen Triviallösung führt!

Eine der  Nebenbedingungen muss mit ins Boot:

$$x_\infty+y_\infty+z_\infty=1$$

und dafür eine Zeile der kollinearen damit ersetzt werden:

$$\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 &1\\ d &e-1&f\\g&h&i-1\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}$$

Sooo...

... damit käme ich dann weiter mit der eigentlichen Aufgabenstellung.

Vielen Dank für Eure Geduld, meinen Selbstgesprächen gelauscht zu haben und Danke für die Anregungen.