Quadratische Gleichung vereinfachen nach x auflösen

Question

Halllo zusammen, 

leider habe ich ein Problem mit der vorliegenden Gleichung. 

Ich habe hier eine Lösung mit Zwischenschritten. Diese sind jedoch recht grob, und ich kann diese nicht nachvollziehen. 

Hauptaufgabe ist es diese Formel nach x Aufzulösen.

2*(x-2)² - 2*2^1/2*(x-2) +1 = 0

Zwischenschritt nach Äquivalenter Umformung, den nicht nicht verstehe:

(2^1/2*(x-2)-1)² = 0

Endergebnis Lautet:

x=2+1/(2^1/2)

könnt Ihr mir diese Umformung erklären? Ich stehe total auf dem Schlauch ... 

 

Answer 1

Hi,

hier wurde nur die zweite binomische Formel verwendet.

2*(x-2)² - 2*2^1/2*(x-2) +1 = 0

Diese lautet ja a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2

Der rote Teil ist unser a und entsprechend ist der erste Summand a^2 und der letzte Summand b^2. Damit kommt man auf Deine Zwischenlösung:

(2^1/2*(x-2)-1)² = 0

Von hier musst Du ja nur noch den Klammerinhalt anschauen:

2^{1/2}(x-2) = 1

2^{1/2}x - 2^{3/2} = 1   |+2^{3/2}

2^{1/2}x = 1+2^{3/2}   |:2^{1/2}

x = 1/2^{1/2} + 2^{3/2}/2^{1/2}    |Mit 2^{3/2}/2^{1/2} = 2^{3/2-1/2} = 2^1 = 2

x = 1/2^{1/2} + 2

Alles klar?

Grüße

Comments

 

ja tatsächlich habe verstanden. Mann, da muss ich echt noch ein bissel den Blick für schärfen. 
Vielen Dank und

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Freut mich. Und der Blick kommt nur durch Übung :D.

Gerne

Answer 2

das ist die 2. binomische Formel

$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2  $$

rückwärts angewandt, mit a=√2 *(x-2) und b=1