Gegeben sind die Ebenen E1 und E2... Gib eine Gleichung der Ebene E3 an! Lage von drei Ebenen,

Question

Gegeben sind die Ebenen E1: 2x+4y-z=8 und E2: 3x-y+2z=12. Gib eine Gleichung einer Ebene E3 an, die zu E1 und E2 schneidend liegt und für die E1 geschnitten E2 geschnitten E3

a) der Punkt P(5,y,z)
b) eine Gerade
c) eine leere Menge ist!

Bitte eine einfache Erklärung! DANKE!

Answer 1

c) nimm als E3 einfach eine Parallele zu E1, etwa

E3:   2x+4y-z=10

b)  Nimm einfach E3 = E1; denn E1 und E2 sind nicht parallel, haben

also eine Schnittgerade .

a) Suche erst mal einen Punkt (5;y;z) der auf E1 und E2 liegt, dazu

x=5 einsetzen    10+4y-z=8 und  15-y+2z=12

                            4y-z=-2 und  -y+2z=-3
                               4y+2=z  in II einsetzen

                                                   -y + 8y+4=-3

                                                          7y = -7

                                                              y=-1

                                  -2=z

Also Punkt   P ( 5 ; -1 ; -2 ) .

Dann eine Ebene wählen, die nicht die Schnittgerade von E1 und E2 enthält.

Die Schnittgerade hat als Richtungsvektor das Vektorprodukt der

Normalenvektoren von E1 und E2 also ( 7 ; -7 ; 14 )^T oder einfach ( 1 ; -1 ; 2 )^T

Eine Ebene mit diesem Vektor als Normalenvektor wäre also geeignet für E3:

                      x - y + 2z = d und damit P aus E3 ist   d= 2

Also ist eine Möglichkeit E3:       x - y + 2z = 2