Trigonometrie: Alle möglichen Lösungen der trigonometrischen Gleichung sin(α)=-1/2 mit für -400° ≤ α ≤ 400°?

Question

erst ein Mal möchte ich mich bedanken, da mir hier schon sehr geholfen wurde und alle immer sehr freundlich zu mir waren! Ein großes Lob an die Community.

Jetzt zu meiner kurzen und simplen Frage:

Ich möchte alle möglichen Lösungen von: 

sin(α)=-1/2

für -400° ≤ α ≤ 400°

Jetzt habe ich in meiner Tabelle nachgesehen und habe gefunden 30° = 1/2

Also weiss ich schonmal dass eine Lösung sein muss sin(30°+180)=-1/2

Wie komme ich auf die anderen Lösungen? Mit dem Einheitskreis? Also wäre eine Lösung noch sin(30°-360)=-1/2 ?

Wie komme ich auf die anderen Lösungen? Und ganz wichtig, kann man das auch irgendwie ausrechnen?

Answer 1

sin(α) = -1/2

α1 = arcsin(-1/2) = -30° --> -390°, -30°, 330°

α2 = 180° - arcsin(-1/2) = 210° --> -150°, 210°

Answer 2

Vielleicht hilft dir bei der Herleitung
auch die Skizze

Comments

sin(a) = -1/2
arcsin (sin(a) ) = arcsin(-1/2)
a = -30 °
Die sin Funktion hat die Periodenlänge /
wiederholt sich alle 360 °. Also
-30 + 360 = 330°
-30 - 360 = -390 °
Die sin-Funktion ist achsensymmetrisch zu z.B.  90 °
Die Stelle bei x = -30 hat als Differenz zu 90 °
120 ° und hat bei 90 + 120 = 210 ° wieder den
Funktionswert -0.5.
Die Stelle 210 ° wiederholt sich bei
210 + 360 = 570 ° ( außerhalb des Intervalls )
und
210 -360 = - 150 °
Insgesamt
-390 - 150, -30, 210, 330 °

Answer 3

https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis

Wie komme ich auf die anderen Lösungen? Mit dem Einheitskreis?

Lösung sin(360° - 30°) = sin(330°) =-1/2 ist für mich einfacher zu erkennen.

Und dann die Periodenlänge des Sinus ausnützen.

Alle Lösungen bekommst du mit

sin(210° + k*360°) = -1/2 , k ∈ ℤ

oder

sin(330° + k*360°) = -1/2 , k ∈ ℤ

Dann für k ganze Zahlen einsetzen und schauen, was noch im Lösungsintervall liegt.

Comments

aber egal was ich für K einsetze, es kommt ja immer -1/2 raus? Wie genau komm ich damit auf die anderen Lösungen?

Vielen Dank schonmal für deine Antwort

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Du hast ja nicht die Vorgabe: für -400° ≤ α ≤ 400° 

Also nimmst du mal k= 0, k=-1, k=1 , k=2 ... und berechnest den Winkel.

Die Winkel, die nicht zwischen oder genau bei  -400° und + 400° liegen, musst du alle weglassen.