Linearisierung einer Funktion - TM 2. Relativverschiebung v in Abhängigkeit von w und Linearisierung?

Question

Ein Stab verschiebt sich. Die vertikale Verschiebung wird durch v die horizontale Verschiebung durch w beschrieben. Gesucht ist eine Funktion abhängig von w, welche v beschreibt. Diese Funktion soll danach linearisiert werden. Ab der gelben Markierung verstehe ich die gemachten Schritte nicht. Wäre jemand so nett mir die Schritte in Worten zu erklären?

Comments

$$f(x+dx)=f(x)+f'(x)\,dx$$

Das ist so die Grundidee der Differentialrechnung: Im Kleinen wird alles linear.

Answer 1

Hallo Haferflocke,

ich schreibe x für \(\overline{ω}\)    [ = ω/b ] :

v(x)  =  h - b · √( (h/b)² + 1 - (1+x)² )  

         mit  [ √u ] '  = u' / (2·√u)  (Kettenregel für Wurzeln)  gilt:

 v'(x)  =  0  -  b ·( -2·(1+x) ) / (2 ·√( (h/b)² + 1 - (1 + x)² )

          =  b · (1+x) / √( (h/b)² + 1 - (1 + x)² ) 

vorletzte Zeile   ( mit  dv/dx |_x=0   =  v'(0) ) :

v(x)  ≈  v(0) + v'(0) · x                 (Taylorpolynom 1. Ordnung im Entwicklungspunkt x₀ = 0)

         =   0    + ( b·(1+0) / √( (h/b)² + 1 - (1 + 0)² ) · x

         =  b / (h/b) · x  =  b²/h · x        

                        mit  x  = \(\overline{ω}\)  =  ω / b :

→  v(ω)  ≈  b/h · ω

Gruß Wolfgang