ggt allgemeine Aussage. ggt( 2s , 2t )= 2 min(s,t)

Question

ich habe folgende Aufgabe gegebene:

Ist die Ausssage wahr oder falsch?

Seien s,t ∈ℕ. Es gilt ggT(2^s , 2^t) = 2^min{s,t}

Durch einfaches Nachprüfen fällt ja auf, dass die Aussage falsch ist.

Zum Beispiel ggT(2⁸ , 2²) = 2⁶

Daher würde ich sagen, dass die Aussage stimmen würde wenn da stehen würde

ggT( 2^s, 2^t) =2^s-t , s>t

Comments

Wie kommst du auf ggT(2⁸ , 2²) = 2⁶  ?

Es gilt ggT(2⁸ , 2²) = 2². 

Ein Teiler kann nicht grösser als die vorhandene Zahl sein.  

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Zum Beispiel ggT(2⁸ , 2²) = 2⁶ 

Verwechselst du da vielleicht   ggT(a,b)  mit   a/b   ?

Answer 1

Hallo sonneblume123,

diese Aussage stimmt leider auch nicht. Seien \(s=3\) und \(t=2\). Es ist \(s>t\). Dann gilt:

\(ggT(2^3,2^2)=ggT(8,4)=4\neq 2^1 = 2^{3-2}\)

André

Comments

Diese Antwort ist leider falsch, weshalb ich hierauf nochmal antworte. ggT(2^s, 2^t) = 2^min{s,t} ist eine wahre Aussage. Es gilt ggT(2³, 2²) = ggT(8, 4) = 4 = 2² = 2^{min{3, 2}}. In Ihrer Antwort haben Sie anstatt des Minimums aus der Menge mit den Elementen 3 und 2 die Differenz aus 3 und 2 berechnet, was so aber nicht der Aussage entspricht, denn min{3, 2} = 2.

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Regex, die Antwort ist eigentlich gar keine Atwort, sondern greift nur den auch schon in den anderen Kommentaren behandelten Irrtum des Fragestellers auf.

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@Regex: Fragen sollten ganz und nicht nur halb gelesen werden.

Answer 2

Seien s,t ∈ℕ. Es gilt ggT(2^s , 2^t) = 2^min{s,t}

Die Aussage ist wahr.

Beweis: Seien s,t ∈ℕ.

Für s=t ist ggT(2^s , 2^t) =ggT(2^s , 2^s) = 2^s = 2^min{s,t} 

weil min(s,s) = s.

Für s≠t ist einer von beiden der kleinere oBdA ist das s.

Also min(s,t) = s.

und  2^s ist Teiler von 2^s (klar) und von 2^t, da s<t also

enthält  2^t  mindestens so viele Primfaktoren 2 wie  2^s .

Und es ist  2^s ggT(2^s , 2^t), weil  2^s keinen größeren Teiler als 2^s 

besitzt.