Skalarprodukt, Nullstellen, Vektoren. Schreibweise sowie Gegenbeispiel gesucht

Question

Ich verstehe bei der b leider nicht, was es heißen soll.

Die c hab ich.

Bei der d fällt mir leider kein Gegenbespiel ein. Hab u=(1 1 2), v=(-1 -1 -2), w=?

Answer 1

b) ist falsch, denn die Cauchy-Schwartz Ungleichung besagt , dass dort ein Gleichheitszeichen stehen muss.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung

d) ein klares Gegenbeispiel

wäre u=(1,0,0), v=(1,1,0) und w=(0,1,0)

Comments

Was heißt aber genau die b)

Das Skalarprodukt sind ja die spitzen Klammern, aber der | ?

 soll ungleich dem Betrag der Vektoren sein

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Die Dreiecke sind für das Skalarprodukt.

<u,v>

Der einzelne Strich ist der Betrag einer reellen Zahl:

| a |

Das Skalarprodukt ergibt eine reelle Zahl, daher kann man davon den Betrag nehmen:

|<u,v>|

Der Doppelstrich steht für die Norm eines Vektors:

||u||

Dabei ist die Norm von u die Wurzel des Skalarprodukt von u mit sich selbst:

||u||=√(<u,u>)

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Ah vielen Dank. Ich dachte, dass die Doppelstriche Betrag bedeuten, weil wir hatten immer beim Normieren die Schriebweise 1/||w|| *w

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Das ist auch richtig so

||u||: Norm bzw. Betrag eines Vektors

|a|: Betrag einer reellen Zahl

Man muss halt unterscheiden ob man den Betrag von einem Vektor oder den Betrag einer reellen Zahl meint, deshalb gibt es die || • || Notation zur besseren Unterscheidung (denk ich mal)

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@Sonnenblume

dein Problem dürfte sein, dass im ℝ³ mit dem Standardskalarprodukt (also z.B. in der Schule, weil man dort nur ein Skalarpodukt kennt) in der Schreibweise für den Betrag eines Vektors zwischen  || \(\vec{v}\) ||  und  | \(\vec{v}\) |  oft nicht unterschieden wird. 

Allgemeiner geschrieben würde die bekannte Formel

cos (<) \(\vec{a}\),\(\vec{b}\) =  \(\vec{a}\) * \(\vec{b}\) / [ |\(\vec{a}\)| · |\(\vec{b}\)| ] 

cos (<) \(\vec{a}\),\(\vec{b}\))  =   < \(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) > / [ ||\(\vec{a}\)|| · ||\(\vec{b}\)|| ]  lauten

Sie gilt auch für Skalarprodukte, die mit den real vorstellbaren "Winkeln" nichts zu tun haben.