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Berechnen Sie zur Kostenfunktion K(x) = 0,05x^3 - 2,36x^2 + 95x +3000

a) die Kostenkehre (kann ich)
b) das Betriebsoptimum und die lPU (kann ich)
c) die Grenzkosten, wenn die Produktion von 20 auf 45 Stück erhöht werden soll?

Hier ist mein Problem:

Die Lösung lautet 107,85 € (GE)
Mit der Grenzkostenfunktion komme ich zwar auf die Kosten die für EINE weitere Mengeneinheit anfallen, habe aber keine Ahnung wie ich auf die Lösung zur Fragestellung c komme. Bitte um Hilfe!

von

1 Antwort

+2 Daumen

Hallo Emin,

gemeint ist hier  der Differenzenquotient

( K(45) - K(20) ) / (45 - 20)  = 107.85  [GE/ME]

Gruß Wolfgang

von 80 k

Vielen Hab schon graue Haare bekommen :-)

Wolfgang kann ich dir bitte noch eine Frage stellen:

K(x)= 0,003x^3 - 0,6x^2 +95x +300
p (x) = 199-0,39x

Berechne die langfr. PU

k(x) = K(x)/x = 0,003x^2 - 0,6x +95 +300/x
k'(x) = 0,006x - 0,6 - 300/x^2
k'(x) = 0 --> kann die Ableitung nicht null setzen, auch der GTR kommt zu keiner Lösung

Lösung im Lösungsheft: 67,94 €

Wie komme ich drauf?

k'(x) = 0.006·x - 0.6 - 300/x2 = 0

⇔ 0.006·x3 - 0.6 · x2 - 300 = 0

Ein guter Rechner sollte das schaffen.

"Von Hand" kann man diese Gleichung nur mit einem Näherungsverfahren (z.B. dem Newtonverfahren) oder sehr aufwändig mit den Formeln von Cardano lösen.

Die Lösung ist  x ≈ 104,5723190  (Betriebsoptimum)

Setzt man diese in k(x) ein, erhält man die langfristige Preisuntergrenze

67,93154633 GE,  also bis auf Rundungsfehler das geforderte Ergebnis

---------

Newtonverfahren:

Berechnen der Nullstellen von f(x)  (f muss differenzierbar sein) 

hier  f(x) = 0.006·x3 - 0.6·x2 - 300 

       f '(x) = 0.018·x2 - 1.2·x

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B mit einem Plotter oder zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

xneu =  xalt - f(xalt) / f ' (xalt)

z.B. Startwert x=50

xf(x)f '(x)
50-1050-15
-20-58831,2
-1,153846154-300,80803371,408579882
212,400271430124,87098557,1694298
158,33256898474,105854261,2465602
125,8953732162,594807134,2191614
109,7829582407,442757685,20181248
105,000867930,8128811272,45223922
104,57558250,23286062371,35824517
104,57231921,36555E-0571,349876
104,5723199,09495E-1371,34987551
104,572319071,34987551

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