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Hallo zusammen,

es geht um folgende Aufgabe Bild Mathematik

Da Dichte ja mit steigender Höhe LINEAR abnimmt, habe ich mir überlegt, ob ich das ganze nicht recht simpel lösen kann indem ich den Mittelwert der zwei "Dichten" einfach mit dem Volumen multiplizieren kann, um an das Gewicht zu kommen.

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Nur bin ich mir bei diesem Vorgehen überhaupt nicht sicher. Kann mich jemand eines besseren belehren?

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Vom Duplikat:

Titel: Masse eines Zylinders; inhomogene Masseverteilung

Stichworte: zylinder,masse,integral

Hallo zusammen,

es geht um folgende Aufgabe Bild Mathematik

Da Dichte ja mit steigender Höhe LINEAR abnimmt, habe ich mir überlegt, ob ich das ganze nicht recht simpel lösen kann indem ich den Mittelwert der zwei "Dichten" einfach mit dem Volumen multiplizieren kann, um an das Gewicht zu kommen.

Bild Mathematik

Nur bin ich mir bei diesem Vorgehen überhaupt nicht sicher. Kann mich jemand eines besseren belehren?

Ermittle eine Formel fuer \(\rho(x,y,z)\). Dann berechne (wie die Aufgabe sagt) $$m=\int_V\rho(x,y,z)\,d(x,y,z).$$

sehe ich auch so.
( rho max + roh min ) / 2 * Volumen

1 Antwort

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deine Vermutung ist richtig, wie man mit dem Volumenintegral auch leicht nachrechnen kann:

$$ m=\int\rho dV\\\rho(z)=\frac { ({ \rho }_{ min}-{ \rho }_{ max})z }{ H }+{ \rho }_{ max}\\\text{Zylinderkoordinaten: }\\m=\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{R}rdr\int_{0}^{H}[\frac { ({ \rho }_{ min}-{ \rho }_{ max})z }{ H }+{ \rho }_{ max}]dz\\=\pi R^2\int_{0}^{H}[\frac { ({ \rho }_{ min}-{ \rho }_{ max})z }{ H }+{ \rho }_{ max}]dz\\=\pi R^2[\frac { ({ \rho }_{ min}-{ \rho }_{ max})H }{ 2 }+{ \rho }_{ max}H]\\=\pi R^2H(\frac { { \rho }_{ min}+{ \rho }_{ max} }{ 2 }) $$

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