es geht um folgende Aufgabe -
11 Ein zylindrischer Körper weist eine inhomogene Dichteverteilung auf. Die Dichte nehme mit steigender Höhe H H H linear ab und habe die Werte ρmax \rho_{\max } ρmax für z=0 z=0 z=0 sowie ρmin \rho_{\min } ρmin für z=H. z=H . z=H. Bestimmen Sie die Masse des Körpers. Lösungshinweis: m=∭vρ⋅dV m=\iiint_v \rho \cdot d V m=∭vρ⋅dV
Da Dichte ja mit steigender Höhe LINEAR abnimmt, habe ich mir überlegt, ob ich das ganze nicht recht simpel lösen kann indem ich den Mittelwert der zwei "Dichten" einfach mit dem Volumen multiplizieren kann, um an das Gewicht zu kommen.
Nur bin ich mir bei diesem Vorgehen überhaupt nicht sicher. Kann mich jemand eines besseren belehren?
Vom Duplikat:
Titel: Masse eines Zylinders; inhomogene Masseverteilung
Stichworte: zylinder,masse,integral
es geht um folgende Aufgabe
Ermittle eine Formel für ρ(x,y,z)\rho(x,y,z)ρ(x,y,z). Dann berechne (wie die Aufgabe sagt) m=∫Vρ(x,y,z) d(x,y,z).m=\int_V\rho(x,y,z)\,d(x,y,z).m=∫Vρ(x,y,z)d(x,y,z).
sehe ich auch so.( rho max + roh min ) / 2 * Volumen
deine Vermutung ist richtig, wie man mit dem Volumenintegral auch leicht nachrechnen kann:
m=∫ρdVρ(z)=(ρmin−ρmax)zH+ρmaxZylinderkoordinaten : m=∫02πdφ∫0Rrdr∫0H[(ρmin−ρmax)zH+ρmax]dz=πR2∫0H[(ρmin−ρmax)zH+ρmax]dz=πR2[(ρmin−ρmax)H2+ρmaxH]=πR2H(ρmin+ρmax2) m=\int\rho dV\\\rho(z)=\frac { ({ \rho }_{ min}-{ \rho }_{ max})z }{ H }+{ \rho }_{ max}\\\text{Zylinderkoordinaten: }\\m=\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{R}rdr\int_{0}^{H}[\frac { ({ \rho }_{ min}-{ \rho }_{ max})z }{ H }+{ \rho }_{ max}]dz\\=\pi R^2\int_{0}^{H}[\frac { ({ \rho }_{ min}-{ \rho }_{ max})z }{ H }+{ \rho }_{ max}]dz\\=\pi R^2[\frac { ({ \rho }_{ min}-{ \rho }_{ max})H }{ 2 }+{ \rho }_{ max}H]\\=\pi R^2H(\frac { { \rho }_{ min}+{ \rho }_{ max} }{ 2 }) m=∫ρdVρ(z)=H(ρmin−ρmax)z+ρmaxZylinderkoordinaten : m=∫02πdφ∫0Rrdr∫0H[H(ρmin−ρmax)z+ρmax]dz=πR2∫0H[H(ρmin−ρmax)z+ρmax]dz=πR2[2(ρmin−ρmax)H+ρmaxH]=πR2H(2ρmin+ρmax)
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