Funktionsbestimmung Abitur

Question

Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f mit den beschriebenen Eigenschaften.

Der zur y-Achse symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch P(0/2) und hat bei x=2 ein Extremum. Er berührt dort die x-Achse.

Answer 1

Der zur y-Achse symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades 

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

geht durch P(0/2) 

f(0) = 2

und hat bei x=2 ein Extremum. 

f'(2) = 0

Er berührt dort die x-Achse.

f(2) = 0

Daraus folgen die Gleichungen

c = 2
32·a + 4·b = 0
16·a + 4·b + c = 0

Und daraus die Lösung

a = 1/8 ∧ b = -1 ∧ c = 2

Die Funktion lautet also

f(x) = 1/8*x^4 - x^2 + 2

Answer 2

Der zur y-Achse symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades geht durch P\((0|\green{2})\) und hat bei \(x=\red{2}\) ein Extremum. Er berührt dort die x-Achse.

...und hat bei \(x=\red{2}\) ein Extremum:

Somit auch ein Extremum bei \(x=-\blue{2}\) wegen der Achsensymmetrie.

Eine Nullstelle mit einer Extremstelle ist eine doppelte Nullstelle.

Nullstellenform der Parabel 4. Grades:

\(f(x)=a(x+\blue{2})^2(x-\red{2})^2\)

...geht durch P\((0|\green{2})\):

\(f(0)=a(0+2)^2(0-2)^2=16a=\green{2}\)

\(a=\frac{1}{8}\)

\(f(x)=\frac{1}{8}(x+2)^2(x-2)^2\)

Comments

Moliets, warum beantwortest du eine Frage, die vor 8 Jahren bereits zufriedenstellend beantwortet wurde? Der Fragesteller wird sich mit Sicherheit nicht mehr für die Antwort interessieren und vermutlich auch sonst ist niemandem mit deiner Antwort gedient.

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Was soll nun dein unnötiger Kommentar? Es gibt eben viele Wege nach Rom...

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Wenn doch wenigstens der Ansatz vollständig erklärt wäre: Eine Nullstelle in Tateinheit mit einer Extremstelle ist eine doppelte Nullstelle.

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Danke! Habe es vervollständigt.

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Moliets, dein Lösungsweg ist tatsächlich besser als der der 8 Jahre alte. Aber wem ist damit gedient?

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Das Thema wurde doch schon zig mal durchgekaut. Bei ihm geht es nicht darum, anderen zu helfen, sondern er macht es lediglich für sich. Das hat er auch schon einige Male selbst so kommuniziert.

Genauso könnte man fragen, wem damit gedient ist, lediglich seine Lösungen zu posten oder Rechtschreibung und Leerzeichen zu korrigieren und die Hälfte dabei zu vergessen. Weiterhin ist auch niemandem damit gedient, irgendwelche Beiträge über Schulmathematik zu verfassen, die unterschwellig als Werbung dienen. Es gibt sicherlich noch viele weitere Dinge, womit niemandem gedient ist, beispielsweise dieser Kommentar.

Seit KI ist die Nachfrage nach menschlicher Hilfe im Internet (die hier ohnehin ja nur selten geboten wird) einfach auf ein Minimum gesunken. Und selbst hier geben sich die FS größtenteils schon keine Mühe mehr, ihre konkreten Probleme mitzuteilen, sondern posten lediglich ihre Aufgabe.

Da ist es letztendlich also auch egal, wie diese Plattform in ihren letzten Zügen noch genutzt wird, auch wenn ich es persönlich sehr schade finde, weil ich gerne meine Unterstützung anbiete, vorausgesetzt, man arbeitet aktiv mit.

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Ich frage mich, warum es dann noch die Antwortmöglichkeit gibt, zumal mein dargestellter Weg eine Alternative ist. Das verstehe ich jetzt auch als Hilfe für etwaige Fragende .

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Deswegen gibt es hier 64739 Aufgaben dieser Art. Weil sich Fragende selbstverständlich die Mühe machen und sich ähnliche Fragen anschauen, bevor sie dann die 64740. Aufgabe dieser Art posten. Man erhofft sich ja eher fertige Lösungen. Deshalb gibt es auch bei vielen Fragen keine Rückmeldung mehr des Fragenden, wie in diesem Fall. Nicht einmal für ein Danke reicht es.