Umformen Doppeltes Summenzeichen

Question

das wird für Heute wahrscheinlich die letzte Frage zu Umformungen (hoffe ich^^).

Könnte mir bitte jemand erklären was hier gemacht wurde:

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ (\sum _{ k=0 }^{ n }{ 1 } ){ x }^{ 2 } } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ (n+1){ x }^{ 2 } }$$

Also wie man auf das (n+1) kommen kann.

Answer 1

Hallo DunKing,

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \left(\sum _{ k=0 }^{ n }{ 1 } \right) { x }^{ 2 } } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ (n+1){ x }^{ 2 } }$$

Schreibe Dir den Term $\sum _{ k=0 }^{ n }{ 1 }$ doch mal ausführlich  hin:

$$\sum _{ k=0 }^{ n }{ 1 }= 1 + 1 + ... + 1+ 1$$

Wie viele 1'en stehen dort? Versuche es z.B. mal mit $n=2$ - dann stehen dort 3(!) 1'en - an den Positionen $k=0;1;2$ - also immer eine mehr als $n$ - bzw. $(n+1)$.

Gruß Werner