Limes eines Terms verstehen, e, Wurzel

Question

$$(1)Wieso\quad ist\quad der\quad limes\quad n\quad \mapsto \infty \quad von\\ \sqrt { \frac { 1 }{ 3 }  } \cdot { \left( 1+\frac { 1 }{ 2n }  \right)  }^{ n }\quad \quad gleich\quad \frac { e }{ 3 } \quad ?\\ \\ \\ \\ (2)Ähnliches\quad Problem\quad hab\quad ich\quad hiermit:\\ limes\quad n\quad \mapsto \infty \quad von\\ { \left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ -n }\quad =\quad { e }^{ -1 }\\ \\ \\ \\ PS:\quad auf\quad meinem\quad Formel-Blatt\quad habe\quad ich\quad stehen:\\ limes\quad n\quad \mapsto \infty \quad { \left( 1-\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n }\quad =\quad \frac { 1 }{ e } ,\quad was\quad ja\quad { e }^{ -1 }\quad entspricht.\\ Oben\quad bei\quad (2)\quad sieht\quad der\quad Term\quad aber\quad anders\quad aus,\\ gibt\quad es\quad da\quad irgendwelche\quad Tipps\quad zum\quad umgehen\quad mit\quad der\quad Formel?\\ \\ $$

Answer 1

                                                      

Answer 2

Hallo Dunking,

hier noch die einfachere Antwort zu 2):

lim_n→∞  (1+1/n)^-n   =_Potenzregel    lim_n→∞  ( 1 / (1+1/n)ⁿ )   =_{Grenzwertsatz}    1/e   =  e^-1

[  lim_n→∞  (1+1/n)ⁿ  = e    steht sicherlich auch auf deinem Formelblatt  :-) ]

Gruß Wolfgang

Answer 3

zu (1): Mit \(k:=2n\) geht es sehr schnell:

$$ \lim_{n\to\infty} { \sqrt { \frac { 1 }{ 3 } } \cdot \left( 1+\frac{1}{2n}\right)^n } = \lim_{k\to\infty} { \sqrt { \frac { 1 }{ 3 } } \cdot \sqrt{\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k } } = \sqrt{\frac{\text{e}}{3}} $$