3 Punkte, die eine Ebene festlegen

Question

die Aufgabenstellung kann man auf dem Bild lesen. Und ich weiß, dass 3 Punke eine Ebene festlegen, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen. Gilt das jedoch für alle 3 Punkte oder können z.B. 2 Punkte auf einer Geraden liegen und der dritte Punkt nicht, würde das auch ausreichen um eine Ebene festzulegen?

Bei der a) kann man ja überprüfen ob der Punkt C auf der Geraden AB liegt, dann muss ich die Parametergleichung für gAB aufstellen und diese mit dem Punkt C gleichsetzen.  Dadurch habe ich herausgefunden, dass der Punkt C nicht auf die Gerade AB liegt, reicht das um festzustellen, dass A B und C eine Ebene festlegen? Oder muss ich noch ausrechnen ob z.B. A auf der Geraden BC liegt?

Kurz: muss ich für alle 3 Punkte überprüfen ob sie auf einer Geraden liegen oder reicht es wenn ich das nur für einen Punkt mache um zu sehen ob diese 3 Punkte eine Ebene festlegen?

Ich würde mich über einfache Antworten sehr freuen.

Comments

Eine Gerade durch zwei Punkte ist eindeutig bestimmt. Wenn du weißt, dass C nicht auf AB liegt, wir A auch nicht auf BC liegen. Es reicht also, es an einer Geraden zu testen.

Answer 1

Wenn die Punkte A, B und C eine Ebene festlegen dann gilt

AB = B - A
AC = C - A
AB und AC sind linear unabhängig

g: X = A + r * AB + s * AC

4a)

AB = [2, -1, 5]
AC = [-3, -2, -2]

AB sind linear unabhängig

g: X = [3, 0, 2] + r * [2, -1, 5] + s * [-3, -2, -2]

Ob ein Punkt in der Ebene Liegt testest du jetzt mit einem Gleichungssystem

[3, 0, 2] + r * [2, -1, 5] + s * [-3, -2, -2] = [1, 1, 0] --> Keine Lösung und damit liegt der Punkt nicht in der Ebene.

Es geht auch ohne Gleichungssystem mit Skalar und Vektorprodukt. Da man hier aber nur 2 unbekannte hat ist ein Gleichungssystem etwas einfacher.

Comments

Ich bin mir nicht sicher ob ich das jetzt richtig verstanden habe. Aber im Unterricht haben wir das so gemacht wie auf dem Blatt. Allerdings weiß ich nicht ob die Überprufung nur eines Punktes wie hier nur für C ausreicht.

Und was heißt  AB und AC sind linear unabhängig?

Ach und wie man überprüft ob ein Punkt in einer Ebene liegt, wusste ich schon, aber trotzdem danke für die Berechnung. :)

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Ihr habt eine Geradengleichung aufgestellt und geprüft ob C auf der Geraden durch AB liegt.

Das kann man machen ist aber aufwendig.

Einfacher ist es wie ich es gemacht habe. Linear unabhängig bedeutet dabei, dass der eine Richtungsvektor kein Vielfaches des anderen sein darf. Also [1, 2, 3] ist abhängig zu [2, 4, 6] weil [2, 4, 6] * 2 * [1, 2 , 3] ist.

Da du das in den meisten Fällen ohne Rechnung sehen kannst ist das besonders einfacher. Außerdem ist es weniger Schreibaufwand als noch eine Geradengleichung zu bilden und die gleich dem Punkt zu setzen. Das geht aber auch.

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Achso die Überprüfung für C langt zunächst weil man mit A und B ja die Gerade aufstellt. Damit müssen A und B ohnehin auf der Geraden liegen. Nur C darf eben für eine Ebene nicht auf der Geraden liegen.

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Achso super, ist echt praktischer :)

Allerdings wenn ich trotzdem die Methode vom Lehrer mache, reicht da nur eine Geradengleichung= C oder braucht man manchmal eine weitere=B?

Und meine alte allgemeine Frage: Wenn  2 Punkte auf einer Geraden liegen und der dritte nicht, können diese 3 Punkte dann eine Ebene festlegen?

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Ach hab jetzt die Antwort gelesen, dann hat sich meine 2. Frage geklärt.

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Würde mich über Ihre Antwort zur Lehrer-Methode  Frage freuen. :)

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Es langt eine Geradengleichung durch A und B = C

Zumindest wenn A und B verschieden sind und eine Gerade Bilden. Aber sollten unter A, B und C eh zwei Punkte gleich sein, können die ja eh schon keine Ebene mehr bilden.

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Meinen sie mit zwei Punkte gleich, wenn die zwei Punkte die selben Zahlen haben z.B. A (1/2/3) und B (1/2/3) oder auch wenn die 2 Punkte kollinear sind A (1/2/3) und B (2 /4/6)?

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Nein. Nur wenn sie die gleichen Zahlenwerte besitzen.

kollinear bedeutet linear abhängig und

nicht kollinear bedeutet linear unabhängig.

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Ok Danke für die Erklärungen