Analysis Mengenlehre Vereinigung

Question

Kann mir jemand dazu einen Ansatz geben, was ich machen muss?
Ich weiß nicht, ob man diese Aufgabe mit einer Induktion ausrechnen muss oder eine andere Methode anwenden sollte?

Answer 1

> Ich weiß nicht, ob man diese Aufgabe mit einer Induktion ausrechnen muss

Das wird nicht zum Ziel führen, weil die Indexmenge I auch überabzählbar sein darf.

> oder eine andere Methode anwenden sollte?

Die Aufgabe ist nicht, eine vorgegebenen Aussage zu beweisen. Es ist ja noch gar nicht klar, ob die Aussage ∩_i∈I M_i ≠ ∅ stimmt oder nicht. Erst wenn du dir darüber im klaren bist, kannst du dich auf die Suche nach einer Methoe begeben, die Aussage zu beweisen oder zu widerlegen.

Tipp. Die Aussage gilt nicht und es genügen drei zweielementige Mengen als Gegenbeispiel. Finde drei zweielementige Mengen M₁, M₂ und M₃, so dass

        M₁ ∩ M₂ ≠ ∅, M₁ ∩ M₃  ≠ ∅ und M₂ ∩ M₃  ≠ ∅

aber

        M₁ ∩ M₂ ∩ M₃ = ∅.

Es reicht sogar, wenn diese Mengen Teilmengen der natürlichen Zahlen sind.