Zufallsvariable, Erwartungswert - 5 Gegenstände werden zufällig auf drei Kästchen verteilt

Question

Leider habe ich für diese Aufgabe überhaupt keine Idee wie ich das berechnen soll. Wenn mir jemand helfen kann wäre das toll.

Answer 1

Kannst du mal eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X machen, die die Anzahl der dabei leerbleibenden Kästchen beschreibt?

Ich habe folgende Kontrollergebnisse

Erwartungswert E(X) = 6/7

Varianz V(X) = 20/49

Comments

Wir haben drei Kästchen A, B, C.

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Kästchen leer bleiben ist P(3) = 0

Die Wahrscheinlichkeit, dass A leer bleibt ist: (2/3)^5

Die Wahrscheinlichkeit, dass B leer bleibt ist: (2/3)^5

Die Wahrscheinlichkeit, dass C leer bleibt ist: (2/3)^5

P(1) = (2/3)^5 + (2/3)^5 + (2/3)^5 = 3*(2/3)^5

Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B leer bleibt ist: (1/3)^5

Die Wahrscheinlichkeit, dass A und C leer bleibt ist: (1/3)^5

Die Wahrscheinlichkeit, dass B und C leer bleibt ist: (1/3)^5

P(2) = (1/3)^5 + (1/3)^5 + (1/3)^5 = 3*(1/3)^5

Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Kästchen leer bleibt ist 

P(0) = 1 - P(1) - P(2) - P(3) = 1 - 3*(2/3)^5 - 3*(1/3)^5 = 16/27

Zusammenfassung:

P(0) = 1 - P(1) - P(2) - P(3) = 16/27

P(1) = (2/3)^5 + (2/3)^5 + (2/3)^5 = 3*(2/3)^5

P(2) = (1/3)^5 + (1/3)^5 + (1/3)^5 = 3*(1/3)^5

P(3) = 0

Ist das soweit richtig?

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"Die Wahrscheinlichkeit, dass A leer bleibt ist: (2/3)⁵ "

Kann es hier nicht aus sein das zufällig auch B leer bleibt?

Da solltest du nochmals drüber nachdenken.

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Kann es hier nicht aus sein das zufällig auch B leer bleibt?

Ja, das dachte ich mir auch und daher habe ich das so berücksichtigt:

Die Wahrscheinlichkeit, dass B leer bleibt ist: (2/3)5

Ich weiß, ich bin total schlecht in solchen Aufgaben. Bei dieser Art Aufgaben streikt mein Gehirn, weiß auch nicht wiso

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Um 5 gleiche Kugeln auf 3 Kästen zu verteilen hast du genau 

(n + k - 1 über k) = (3 + 5 - 1 über 5) = (7 über 5) = (7 über 2) = 7 * 6 / 2 = 21 Möglichkeiten

Diese 21 Möglichkeiten solltest du sogar noch schaffen aufzuzeichnen. Und dann überlegst du dir genau wie man die Anzahl Möglichkeiten berechnen kann das 0, 1 oder 2 leer bleiben.

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Varianz V(X) = 50/49

Schreibfehler oder Rechenfehler ?

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Schreibfehler. Hier bei mir stehen 20/49.

Danke fürs Nachschauen.

Ich korrigiere das oben mal.

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Ich stelle mal meine Rechnung zur Wahrscheinlichkeitsverteilung zur Verfügung. Weil ich eh schon mal dabei war, meine Rechnung rauszukramen.

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Anzahl Möglichkeiten beim Ziehen von k aus n Kugeln, mit Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge

COMB(n + k - 1, k)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X

P(X = 0) = COMB(3 + 2 - 1, 2) / COMB(3 + 5 - 1, 5)

P(X = 1) = 3·COMB(2 + 3 - 1, 3) / COMB(3 + 5 - 1, 5)

P(X = 2) = 3·COMB(1 + 5 - 1, 5) / COMB(3 + 5 - 1, 5)