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Bitte loesen Sie mit Losungweg! Vielen Dank


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zu 8a) siehe hier.

zu 8b): Beweis durch vollständige Induktion. Mit n=1n=1 stimmt die Ungleichung (bitte selber prüfen).

Der Übergang von nn nach n+1n+1:

k=1n+1kk=k=1nkk(n+1)n+1\prod \limits_{k=1}^{n+1} k^k = \prod \limits_{k=1}^n k^k \cdot (n+1)^{n+1}

 =nn(n+1)2(n+1)n+1<(n+1)n(n+1)2(n+1)n+1=(n+1)(n+2)(n+1)2\space= n^{\frac{n(n+1)}{2}} \cdot (n+1)^{n+1} \lt (n+1)^{\frac{n(n+1)}{2}} \cdot (n+1)^{n+1} = (n+1)^{\frac{(n+2)(n+1)}{2}}

und dies enspricht dem Term, wenn man in der gegeben Ungleichung das nn durch n+1n+1 ersetzt.

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Vielen fur Ihre Antworte! aber ich habe noch nicht teil b verstanden. koennen Sie eindeutiger loesen? 

Alternativ : 

Für alle k = 1 .. n  ist   ln (k) ≤ ln (n)
sowie  ∑ [k = 1 .. n] k  =  n·(n+1) / 2
           (ist bekannt oder beweist sich analog zu Teil a.)

Daraus ergibt sich  
n·(n+1) / 2 · ln (n)  =  ln (n) · ∑ [k = 1 .. n] k
   =  ∑ [k = 1 .. n] ( k · ln (n) )
   ≥  ∑ [k = 1 .. n] ( k · ln (k) )

Logarithmengesetze anwenden :
ln ( nn·(n+1) / 2 )  ≥  ∑ [k = 1 .. n]  ln (kk)
   =  ln ( ∏ [k = 1 .. n]  kk )

Monotonie der exp-Funktion anwenden :
nn·(n+1) / 2  ≥  ∏ [k = 1 .. n]  kk

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