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 Hallo,

in meiner Aufgabe wird gefordert das ich mit voll. Induktion beweise.

a)    image

Induktionsanfang

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Induktionsbehauptung

∃ n ∈ ℕ, n > 0: image

Induktionsschritt

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image

Jetzt ist die Frage, ob das überhaupt soweit richtig ist. Diese beiden Terme müssten doch das gleiche ergeben oder?

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LG

Gefragt von

Manche Bilder sind nicht zu sehen.

komisch bei mir schon? wie kann ich das ändern?

Ich hab jetzt einfach einen screenshot gemacht.

Bild Mathematik

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie mithilfe der vollständigen Induktion: Summenformel für Quadratzahlen

Stichworte: induktion,beweis,vollständige,folge,bruch

Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion die nachfolgenden Aussagen:

Bild Mathematik

EDIT: Bitte jeweils die Suche nutzen. Solche Fragen kommen regelmässig wieder. Bei Unklarheiten darfst du gern nachfragen. 

2 Antworten

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Im Induktionsschritt sollte es wohl heißen$$\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\sum_{k=1}^nk^2+(n+1)^\color{red}2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^\color{red}2=\frac{n(n+1)(2n+1)+\color{red}6(n+1)^\color{red}2}6.$$

Beantwortet von 1,4 k

Danke für deine Antwort warum kommt da jetzt noch ein hoch 2? Woher nimmst du das? und die 6?

Es werden nicht die ersten \(n\) natürlichen Zahlen addiert, sondern die ersten \(n\) Quadratzahlen.

Aja klingt logisch und die 6 kommt von wo?

\(6\) ist der Hauptnennner, mit dem \((n+1)^2\) erweitert wird um addieren zu können.

Vielen Dank für deine Antworten!

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Zu zeigen:


Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2n + 1)


Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.


Σ (k = 1 bis n) (k^2) = 1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1)

Σ (k = 1 bis 1) (k^2) = 1/6·1·(1 + 1)·(2·1 + 1)

1^2 = 1/6·2·3

1 = 1

Stimmt !


Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.


Σ (k = 1 bis n + 1) (k^2) = 1/6·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2·(n + 1) + 1)

Σ (k = 1 bis n) (k^2) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(n + 1)·(2·n + 1) + (n + 1)^2 = 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

1/6·n·(2·n + 1) + (n + 1) = 1/6·(n + 2)·(2·n + 3)

1/3·n^2 + 1/6·n + n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1

1/3·n^2 + 7/6·n + 1 = 1/3·n^2 + 7/6·n + 1


Beantwortet von 232 k

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