0 Daumen
111 Aufrufe

Aufgabe ( Löse folgende Gleichung ) 
t^{4} - 13t^{2} + 36 = 0  | t^{2} = u
u^{2} - 13u + 36 = 0

Lösungsformel liefert folgende Lösungen
u_(1) = ( 6.5 - 2.5 ) / 2 = 2
u_(2) = ( 6.5 + 2.5 ) / 2 = 4.5

Rücksubstition
t^{2} = 2 ⇒ t = √(2)
t^{2} = 4.5 ⇒ t = √(4.5)

Probe in die Gleichung
(√(2))^{4} - 13*(√(2))^{2} + 36 = 0
4 - 26 + 36 ≠ 0

Wenn ich √(4.5) einsetze, bekomme ich -2.25 also wieder ungleich null heraus.

Lösung gem. Buch
t_(1,2) = ±2
t_(3,4) = ±3


Frage
Ich glaube ich kann nicht mit Wurzeln rechnen.

(1) Wie probiere ich hier die -√(2) ?
(2) Ist (-√(2))^{4} = -√(2)*-√(2) = 2 oder -2 (ich glaube +2)
     Es gäbe aber in beiden Fällen am Schluss +4


von

3 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

u1.2= 13/2± √(169/4 -144/4)

u1.2= 13/2± 5/2

u1= 9

u2= 4

t^2= u

9= u ---->u1,2= ±3

4= u ---->u1,2= ±2

Die Lösungen stimmen.

von 86 k

Super ich hab in der Determinante den Fehler gemacht und anstelle 25/4 einfach mit 25 weitergerechnet.


Vielen Dank !

Aha, die Determinante... ?

Diskriminante :-)

Ja! :-)

Die Gleichung u2 - 13u + 36 = 0 ließe sich auch gut mit der pq-Formel lösen.

Der Satz von Viéta wäre eigentlich noch schicker, denn wegen 4*9=36 und 4+9=13 ist

u2 - 13u + 36 = 0

(u-4)*(u-9) = 0

u=4 oder u=9.

Perfekt, ja der Satz sieht echt gut aus der Satz von Vieta. :-)

Ich muss den noch genauer anschauen, also mein Ziel ist es, solche Aufgaben evt. auch ohne Lösungsformel zu lösen.


x^{2}+2x+1 = (x + 1)(x + 1)

Das ist jetzt einfach, weil ich ja sofort sehe, dass x im quadrat steht und die 1 ja auch, aber dort oben sind es jeweils unterschiedliche Zahlen. Hast du ein Themenvorschlag, wo ich das lernen könnte oder ist das sogar der Satz von Vieta den ich lernen muss?

Ja das wird wohl alles über Satz von Vieta gehen, die Frage allerdings, geht der Satz von Vieta nur wenn ich eine quadratische Gleichung in dieser Form vorliegen habe:

x^{2} + px + q = 0


Vorausgesetzt, dass

(1) x_(1) + x_(2) = -p

(2) x_(1) * x_(2) = q



Wenn ich jetzt

3x^{2} + 15x + 75 = 0

habe müsste ich ja zuerst *1/3 auf beide seiten multiplizieren, oder, also hier könnte ich den S.v.V. nicht direkt anwenden ?

+1 Punkt

u1 = ( 6.5 - 2.5 ) / 2 = 2
u2 = ( 6.5 + 2.5 ) / 2 = 4.5

Falsch

u1 = 4
u2 = 9

von 87 k

Vielen Dank, fehler war in der Diskriminante :-/

:-)


Hallo limo,

wir unterhalten uns generell um die Ermittlung
der Nullstellen von Funktionen 2.Grades

f ( x ) = a*x^2 + b*x + c

bzw

a*x^2 + b*x + c = 0

Der Satz von Vieta ist nur in Sonderfällen
für ganzzahlige Lösungen geeignet.
Ich benutze ihn gar nicht.

Die Standardlösungsmöglichkeiten sind
- Mitternachtsformel
- pq-Formel
- quadratische Ergänzung
Ich benutze nur die quadratische Ergänzung

Beispiel
2x^2 - 26x + 72 = 0
Hier kann die Mitternachtsformel
verwendet werden.

Oder man bringt die Gleichung in die
Form ohne Koeffizienten vor dem x^2

2x^2 - 26x + 72 = 0 | : 2
x^2 - 13x + 36 = 0

Jetzt kann die pq-Formel oder
die quadratische Ergänzung angewendet
werden

Quadratische Ergänzung um einen
Teil der Gleichung in eine binomische
Form umzuwandeln.
Quadratische Ergänzung : die Hälfte
der Vorzahl von x zum Quadrat.

x^2 - 13x + 36 = 0
x^2 - 13x + (13/2)^2 - (13/2)^2 + 36 = 0
( x - 13/2)^2  = -36 + 169/4
( x - 13/2)^2  = -36 + 169/4 = 25/4
Wurzelziehen
x - 13/2 = ± √ 25/4
x - 13/2 = ± 5/2

x = 5/2 + 13/2
x = 9
x = -5/2 + 13/2
x = 4

+1 Punkt

Hallo Limonade,

u2 - 13u + 36 = 0 

(u - 9) * (u - 4) = 0

u = 9  oder u = 4

Du musst dich bei der Lösungsformel vertan haben.

ax2 + bx + c = 0

abc-Formel:  a = 1 ,  b = -13 , c = 36

u1,2 = ( -b ± \(\sqrt[]{b^2-4ac}\)) / (2a)  =  ( 13 ± √(169 - 144) ) / 2  = (13 ± 5) / 2 

Gruß Wolfgang

von 81 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...