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a)Zeigen Sie, dass für alle z, w C gilt

|z+w|2 =|z|2 +|w|2 +2Re(z·w ̄) (-> nur w ist konjugiert).

Hinweis: Stellen Sie z und w in kartesischen Koordinaten dar. Seienz,wC\{0}mit

b) Arg(z) Arg(w) = π/2

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Zeigen Sie, dass gilt

|w||z||w|2
Hinweis: Verwenden Sie Teilaufgabe a).

Jeder Anregung oder Hilfe wäre super.

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Die gewuenschte Anregung:

- "Hinweis: Stellen Sie z und w in kartesischen Koordinaten dar."

- Wenn Du das gemacht hast: Rechne!

Bei z + w wäre der Umstellung doch:

z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v

oder?

Ja. Rechne weiter. Links ist \(|z+w|^2\) verlangt, nicht \(z+w\).

1 Antwort

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a)mit z=a+bi und w=x+yi hast du

|z+w|2

=( (a+x)+(b+y)i ) * ((a+x) - (b+y)i) 

= (a+x)2 + (b+y)2   

= a2 + 2ax + x2    +  b2 + 2by + y2

= a2  +  b2 +  x2  +  y2 + 2ax +  2by

==|z|2 +|w|2 + 2*Re(z*wquer)

Denn es gilt z*wquer=(a+bi)(x-yi) = ax + by + bxi - ayi

                   = (ax + by) + )bx - ay)i

also Realteil = ax + by.

|z|2 +|w|2 +2Re(z·w ̄)

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