Zeigen Sie, dass für alle z, w ∈ C gilt |z+w|2 =|z|2 +|w|2 +2Re(z·w ̄)

Question

a)Zeigen Sie, dass für alle z, w ∈ C gilt

|z+w|2 =|z|2 +|w|2 +2Re(z·w ̄) (-> nur w ist konjugiert).

Hinweis: Stellen Sie z und w in kartesischen Koordinaten dar. Seienz,w∈C\{0}mit

b) Arg(z) − Arg(w) = π/2

Zeigen Sie, dass gilt

|z + w|2 = |z|2 + |w|2. 
Hinweis: Verwenden Sie Teilaufgabe a).

Jeder Anregung oder Hilfe wäre super.

Comments

Die gewuenschte Anregung:

- "Hinweis: Stellen Sie z und w in kartesischen Koordinaten dar."

- Wenn Du das gemacht hast: Rechne!

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Bei z + w wäre der Umstellung doch:

z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) 

oder?

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Ja. Rechne weiter. Links ist \(|z+w|^2\) verlangt, nicht \(z+w\).

Answer 1

a)mit z=a+bi und w=x+yi hast du

|z+w|2

=( (a+x)+(b+y)i ) * ((a+x) - (b+y)i) 

= (a+x)² + (b+y)²   

= a² + 2ax + x²    +  b² + 2by + y²

= a²  +  b² +  x²  +  y² + 2ax +  2by

==|z|² +|w|² + 2*Re(z*w_quer)

Denn es gilt z*w_quer=(a+bi)(x-yi) = ax + by + bxi - ayi

                   = (ax + by) + )bx - ay)i

also Realteil = ax + by.

|z|2 +|w|2 +2Re(z·w ̄)