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Aufgabe:

Komplexe Zahlen. Gleichung mit Koeffizientenvergleich lösen: (a+bi)2=2i (a+b i)^{2}=2 i


Ansatz:

Ich versuche diese Gleichung mit dem koeffizientenvergleich zu lösen, komme aber nicht weiter. Wie kriege ich b raus? Und ist mein Ansatz richtig?

(a+bi)2=2i (a+b i)^{2}=2 i
a2+abi+abi+b2i2=2i a^{2}+a b i+a b i+b^{2} i^{2}=2 i
2abi+b2i22i+a2=0 2 a b i+b^{2} i^{2}-2 i+a^{2}=0
2ab+(b2)2i+a2=0 2 a b+\left(-b^{2}\right)-2 i+a^{2}=0
2ab2=0 2 a b-2=0 a=1b a = \frac{1}{b}
b2+a2=0 -b^{2}+a^{2}=0

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Hallo Sweeti,

Dein Ansatz ist völlig in Ordnung. Einfach den Term für aa also a=1/ba=1/b in die zweite Gleichung einsetzen - macht

b2+1b2=0-b^2 + \frac{1}{b^2} = 0

Mit b2b^2 mal nehmen und das b4b^4 auf die andere Seite bringen:

 b4=1b1,2=±1 \Rightarrow \space b^4=1 \quad \Rightarrow b_{1,2}=\pm1

Dann in die Gleichung für aa einsetzen und Du erhältst die beiden Lösungen

z1=1+iz2=1iz_1= 1+ i \quad z_2=-1-i

Gruß Werner

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