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Beweisen Sie mittels vollstandiger Induktion:

Seien xk, k = 1;...; n, reelle Zahlen, die entweder alle im Intervall (-1; 0) liegen oder alle positiv sind. Dann gilt die verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung.

Bild Mathematik

von

Vom Duplikat:

Titel: Wie beweise ich die Ungleichung mit vollständiger Induktion? Produkt- und Summenzeichen.

Stichworte: produktzeichen,summenzeichen,vollständige-induktion,ungleichungen,bernoulli

$$\prod_{k=1}^n (1+x_k) \ge 1 + \sum_{k=1}^n x_k$$ für alle n ≥ 1, n ∈ N, (verallg. Bernoulli-Ungleichung)

wobei alle xk dasselbe Vorzeichen haben und x> −1 erfüllen.

Koenntest Du noch etwas spezifischer werden, wo denn jetzt genau das Problem liegt? Abgesehen davon, dass alle Induktionenn gleich gehen, geht die hier pratisch genauso wie bei der klassischen Bernoulli-Ungleichung. Und die hat man Dir sicher schon gezeigt, oder?

2 Antworten

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wenn die Zahlen alle größer als -1 sind, geht es wohl so:

Ind.anfang: ist wohl klar

Ind.schritt

Produkt bis n+1 = Produkt bis n  *   ( 1 + xn+1 )

                Ind. vor. benutzen und weil  ( 1 + xn+1 ) > 0 ist

               gilt dann:

≥ ( 1 + Summe bis n ) *   ( 1 + xn+1 )

=  ( 1 + xn+1 ) + Summe bis n   +   xn+1 * Summe bis n

= 1 + Summe bis n   +   xn+1 * Summe bis n

≥ 1 + Summe bis n  

von 153 k
+2 Daumen

Hallo und guten Abend,

Induktionsanfang ist einfach: \(n=1\) und  \(1 + x_k = 1+ x_k\). Nun der Induktionsschritt $$\begin{align} \prod_{k=1}^{n+1} (1+ x_k) &= \left( \prod_{k=1}^n (1+x_k) \right)(1+x_{n+1}) \\&\ge \left( 1 + \sum_{k=1}^n x_k \right) (1+x_{n+1}) \\&= 1 +\left( \sum_{k=1}^n x_k\right) + x_{n+1} + x_{n+1}\sum_{k=1}^n x_k \\&= 1 + \sum_{k=1}^{n+1} x_k + x_{n+1}\sum_{k=1}^n x_k \\&\ge 1 + \sum_{k=1}^{n+1} x_k \quad \text{q.e.d.}\end{align}$$ Der Schritt von der vorletzten zur letzten Zeile ist richtig, da in jedem Fall \(x_{n+1} \sum_{k=1}^n x_k \ge 0 \) ist, da alle \(x_k\) das gleiche Vorzeichen haben. Somit ist das Produkt zweier beliebiger \(x_k\) stets \(\ge 0\).

Gruß Werner

von 15 k

das heißt , der Weg , den du gemacht hast , nicht mit Bernoullische Ungleichung zu tun ?

das heißt , der Weg , den du gemacht hast , nicht mit Bernoullische Ungleichung zu tun ?

Warum nicht? Ich unterstelle, Du beziehst Dich auf die Aussage mit dem gleichem Vorzeichen von \(x_k \space \forall k\). Bei der Bernoullischen Ungleichung sind alle \(x_k=x \space \forall k\) identisch und haben demzufolge auch identische Vorzeichen.

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