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Wie kann ich mir den Punkt berechnen, der von den Punkten A=(-1|3),B=(3|1) und C=(4|7) höchstens den Abstand 4 hat?

Die Lösung soll (2|4) sein.

Wenn ich A+B rechne, erhalte ich auch das richtige Ergebnis.

Ich habe aber keine Ahnung, wieso man das so rechnet.

von

2 Antworten

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Wie kann ich mir den Punkt berechnen, der von den Punkten A=(-1|3),B=(3|1) und C=(4|7) höchstens den Abstand 4 hat?

Ich würde zunächst den Umkreismittelpunkt suchen, der zu allen Punkten den gleichen Abstand hat. Das sollte dann ja der Punkt sein mit dem kleinsten Abstand zu allen Punkten. Den Umkreismittelpunkt erhält man, indem man den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten bestimmt.

Mittelpunkt zwischen A und B

MAB = ((-1 + 3)/2 | (3 + 1)/2) = (1 | 2)

Steigung zwischen A und B

mAB = (1 - 3) / (3 - (-1)) = -2/4 = -1/2

Senkrecht dazu ist die Steigung

nAB = -1/(-1/2) = 2

Mittelsenkrechte von AB

m1(x) = 2(x - 1) + 2 = 2x

 

Mittelpunkt zwischen A und C

MAC = ((-1 + 4)/2 | (3 + 7)/2) = (1,5 | 5)

Steigung zwischen A und C

mAC = (7 - 3) / (4 - (-1)) = 4/5

Senkrecht dazu ist die Steigung

nAC = -1/(4/5) = -5/4

Mittelsenkrechte von AC

m2(x) = -5/4(x - 1,5) + 5 = -1,25x + 6,875

 

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

m1(x) = m2(x)

2x = -1,25x + 6,875

3,25x = 6,875

x = 55/26 = 2,115

m1(55/26) = 55/13 = 4,231

 

Umkreismittelpunkt wäre also M(2,115 | 4,231)

 

Der dem am nächsten liegende Punkt ist (2 | 4). Nun müsste man noch zeigen das dieser zu allen Punkten höchsten den Abstand 4 hat. Ich denke das schaffst du mit dem Phythagoras oder?

von 359 k 🚀
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Normalerweise arbeitet man da mithilfe der Abstandsgleichung(findet man in jeder Formelsammlung) und stellt dann ein linares Gleichungssystem auf.
von
Eine Berechnung und zu zeigen wie es geht wäre hilfreich :)

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