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Wie kann ich mir den Punkt berechnen, der von den Punkten A=(-1|3),B=(3|1) und C=(4|7) höchstens den Abstand 4 hat?

Die Lösung soll (2|4) sein.

Wenn ich A+B rechne, erhalte ich auch das richtige Ergebnis.

Ich habe aber keine Ahnung, wieso man das so rechnet.

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Wie kann ich mir den Punkt berechnen, der von den Punkten A=(-1|3),B=(3|1) und C=(4|7) höchstens den Abstand 4 hat?

Ich würde zunächst den Umkreismittelpunkt suchen, der zu allen Punkten den gleichen Abstand hat. Das sollte dann ja der Punkt sein mit dem kleinsten Abstand zu allen Punkten. Den Umkreismittelpunkt erhält man, indem man den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten bestimmt.

Mittelpunkt zwischen A und B

MAB = ((-1 + 3)/2 | (3 + 1)/2) = (1 | 2)

Steigung zwischen A und B

mAB = (1 - 3) / (3 - (-1)) = -2/4 = -1/2

Senkrecht dazu ist die Steigung

nAB = -1/(-1/2) = 2

Mittelsenkrechte von AB

m1(x) = 2(x - 1) + 2 = 2x

 

Mittelpunkt zwischen A und C

MAC = ((-1 + 4)/2 | (3 + 7)/2) = (1,5 | 5)

Steigung zwischen A und C

mAC = (7 - 3) / (4 - (-1)) = 4/5

Senkrecht dazu ist die Steigung

nAC = -1/(4/5) = -5/4

Mittelsenkrechte von AC

m2(x) = -5/4(x - 1,5) + 5 = -1,25x + 6,875

 

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

m1(x) = m2(x)

2x = -1,25x + 6,875

3,25x = 6,875

x = 55/26 = 2,115

m1(55/26) = 55/13 = 4,231

 

Umkreismittelpunkt wäre also M(2,115 | 4,231)

 

Der dem am nächsten liegende Punkt ist (2 | 4). Nun müsste man noch zeigen das dieser zu allen Punkten höchsten den Abstand 4 hat. Ich denke das schaffst du mit dem Phythagoras oder?

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Normalerweise arbeitet man da mithilfe der Abstandsgleichung(findet man in jeder Formelsammlung) und stellt dann ein linares Gleichungssystem auf.
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Antwort mit KI erzeugt

Schrittweise Lösung der Aufgabe:

Um den Punkt zu finden, der von den gegebenen Punkten \(A = (-1, 3)\), \(B = (3, 1)\) und \(C = (4, 7)\) höchstens den Abstand 4 hat, müssen wir eine logische und mathematische Analyse durchführen.

Schritt 1: Verständnis der Aufgabenstellung

Gesucht ist ein Punkt \(P = (x, y)\), der von den Punkten \(A\), \(B\) und \(C\) höchstens den Abstand 4 haben darf. Offensichtlich handelt es sich nicht einfach nur um eine Berechnung der Summe der Koordinaten, obwohl in der Aufgabe dies zum richtigen Ergebnis zu führen scheint.

Schritt 2: Berechnung von Punkt \(A + B\)

In der Aufgabe wird gegeben, dass \(A + B\) das richtige Ergebnis liefert. Berechnen wir dies einmal:

\( A = (-1, 3) \)
\( B = (3, 1) \)
\( A + B = (-1 + 3, 3 + 1) = (2, 4) \)

Schritt 3: Überprüfung der Abstände

Um sicherzustellen, dass der Punkt \((2, 4)\) tatsächlich von den Punkten \(A\), \(B\) und \(C\) höchstens den Abstand 4 hat, berechnen wir die Abstände:

1. Abstand zu Punkt \(A\) (-1, 3):

Die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten \( (x_1, y_1) \) und \( (x_2, y_2) \) ist:
\( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
Setzen wir die Werte \( (x_1, y_1) = (-1, 3) \) und \( (x_2, y_2) = (2, 4) \):
\( \sqrt{(2 - (-1))^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + 1^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3.16 \)

Der Abstand zu Punkt \( A \) ist \(\sqrt{10} \approx 3.16 \), was kleiner als 4 ist.

2. Abstand zu Punkt \(B\) (3, 1):

Setzen wir die Werte \( (x_1, y_1) = (3, 1) \) und \( (x_2, y_2) = (2, 4) \):
\( \sqrt{(2 - 3)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2 - 3)^2 + 3^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.16 \)

Der Abstand zu Punkt \(B\) ist \(\sqrt{10} \approx 3.16 \), was ebenfalls kleiner als 4 ist.

3. Abstand zu Punkt \(C\) (4, 7):

Setzen wir die Werte \( (x_1, y_1) = (4, 7) \) und \( (x_2, y_2) = (2, 4) \):
\( \sqrt{(2 - 4)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{(2 - 4)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3.61 \)

Der Abstand zu Punkt \(C\) ist \(\sqrt{13} \approx 3.61 \), was ebenfalls kleiner als 4 ist.

Schlussfolgerung

Da der Abstände zu Punkt \(A\), \(B\) und \(C\) jeweils kleiner als 4 sind (\(\sqrt{10} \approx 3.16\) und \(\sqrt{13} \approx 3.61\)), erfüllt Punkt \((2, 4)\) die Bedingung der Aufgabenstellung und ist der gesuchte Punkt.

Fazit

Die Berechnung des Punktes durch Addition der Punkte \(A\) und \(B\) ergibt zufällig den richtigen Punkt in dieser ganz spezifischen Aufgabenstellung. Mathematisch gesehen, handelt es sich jedoch oft um eine Untersuchung der Geometrie, die durch den gegebenen Kontext evtl. zufällig das korrekte Ergebnis liefert. Die logische Überprüfung und die Abstandsberechnungen bestätigen jedoch, dass \((2, 4)\) wirklich der geforderte Punkt ist.
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Wie kann ich mir den Punkt berechnen, der von den Punkten A=(-1|3),B=(3|1) und C=(4|7) höchstens den Abstand 4 hat?

Kreis um A \((-1|3)\) mit \(r=4\) ist  \(k_1:(x+1)^2+(y-3)^2=16\)

Kreis um B\((3|1)\) mit \(r=4\) ist \(k_2:(x-3)^2+(y-1)^2=16\)

Kreis um C\((4|7)\) mit \(r=4\) ist \(k_3:(x-4)^2+(y-7)^2=16\)

\(k_1:    x^2+y^2+2x-6y=6 \)

\(k_2:     x^2+y^2-6x-2y=5,7 \)

\(k_3:   x^2+y^2-8x-14y=-49 \)

\(k_1-k_2:       8x-4y=0,3  \)

\(k_1-k_3:      10x+8y=55  \)

\(k_2-k_3:      2x+12y=54,7  \)

Diese Chordalen haben den gemeinsamen Punkt D\((2,14|4,2)\) Die nächste ganzzahlige Koordinate liegt in P \((2|4)\)

Unbenannt.JPG

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Diese Chordalen haben den gemeinsamen Punkt D\((2,14|4,2)\).

Wie bereits eine einfache Probe an der Gleichung 8x-4y=0,3 zeigt ist das nicht wahr, denn 8·2,14 - 4·4,2 ist gar nicht 0,3.

Aber da bist du in guter Gesellschaft: Auch MC hat 2012 versäumt, ungerundete Koordinaten anzugeben.


Dein Vorgehen mit den drei linearen Gleichungen ist ja durchaus in Ordnung, aber handwerklich schlampig durchgeführt.

Dass du den Fragesteller außerdem nicht auf die bereits fehlerhafte Aufgabenstellung hingewiesen hast ist nur dadurch einigermaßen zu entschuldigen, dass deine Antwort den Fragesteller nicht mehr tangiert. Aber auch da bist du in guter Gesellschaft.

Aber da bist du in guter Gesellschaft: Auch MC hat 2012 versäumt, ungerundete Koordinaten anzugeben.

Meinst du

x = 55/26 = 2,115 ; m1(55/26) = 55/13 = 4,231

als ungerundete Koordinaten. Wenn ja, stehen die dort.

Im Übrigen dürfte klar sein, dass der Fragesteller alle Punkte mit ganzzahligen Koordinaten meint. Das geht ja schon aus der gegebenen Lösung hervor.

Wie du inzwischen wissen dürftest, gehe ich eigentlich immer über offensichtliche Fehler in der Fragestellung hinweg. Dafür gibt es hier genug andere, die das anmerken.

Noch eine Möglichkeit:

\((4-u)^2+(7-v)^2=d_1^2\)

\((u-1)^2+(v-3)^2=d_2^2\)

\((3-u)^2+(v-1)^2=d_3^2\)

\(s^2(u,v)\\=(4-u)^2+(7-v)^2+(u-1)^2+(v-3)^2+(3-u)^2+(v-1)^2\\=3u^2-16u+3v^2-22v+85\) soll minimal werden.

\(s^2_u(u,v) =6u-16 \)

\(s^2_v(u,v) =6v-22 \)

\(6u-16=0 \)

\(u=\frac{8}{3} \)

\(6v-22=0 \)

\(v=\frac{11}{3} \)

Der Punkt P\((\frac{8}{3}|\frac{11}{3})\) hat minimale Entfernung zu \(A, B, C\).

Unbenannt.JPG

s^2 = ... soll minimal werden.

Warum das ?

Das würde mich auch mal interessieren...

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