Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktionenschar (x^3 +3kx^2 -4k^3 ) / x

Question

Für jedes k ist die Funktionenschar (x³ +3kx² -4k³ ) / x gegeben. 

a) Zeigen Sie ,dass der Graph einer jeden Funktion der Schar die x-Achse an der Stelle x= -2k berührt, und bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen.

Also durch quotientenregel und einsetzung der ersten Ableitung =0  kommt man auf -2k .Somit ist der erste Teil gemacht und bewiesen 

(ach ja weiß jemand wie man die Nullstellen ohne Taschenrechner herausbekommt? Ich hab hier einfach die Werte eingesetzt und -2 ist rausgekommen. dann hab ich gedacht es muss noch ein k dabei sein also -2k. Kann man die Nullstellen ohne TR berechnen)

Aber da steht noch "Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen". Aber es gibt doch nur eine Nullstelle nähmlich -2k .Wie geht man hier vor?

Answer 1

Tipp: \(x^3+3kx^2-4k^3=(x+2k)^2\cdot(x-k)\).

Comments

Ah alles klar danke.

Welches Verfahren hast du hier benutzt? einfach nur ausklammern oder besitzt es auch einen Namen? 
Weil ich wäre nie auf die Antwort gekommen und wie man das ganze ausklammert erst recht nicht.muss es noch üben

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Polynomdivision. Eine Nullstelle ist bekannt. Der Zähler ist ohne Rest durch \(x+2k\) teilbar.
Der Fall \(k=0\) sollte vielleicht separat betrachtet werden.

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du meinst wohl der Zähler ist ohne Rest durch x-2k teilbar. Weil  x=-2k und nicht +2k

oder ist es (x+2k) und man es gleich null setzt dann x=-2k

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Letzteres ist richtig. Wenn \(x_0\in\mathbb R\) eine Nullstelle eines Polynoms ist, dann ist \(x-x_0\) ein Linearfaktor.

Answer 2

Ich schreibe einmal hier hin weil der
Kommentarstrang schon recht lang ist.

Also durch quotientenregel und einsetzung der ersten Ableitung =0  kommt man auf -2k .Somit ist der erste Teil gemacht und bewiesen

Damit hast du bewiesen das bei x = -2k eine
Stelle mit waagerechter Tangente ist. Ob an dieser
Stelle der Funktionswert null ist ist noch nicht
bewiesen. Erst ein berechnen des Funktionswerts
f ( -2k ) könnte dies zeigen.

Comments

Danke für Ihren Hinweis ,hätte es sonst in der Klausur auch vermasselt