Quotientenkriterium, Doppelbruch auflösen

Question

Hallo ;)

Ich hab totale Probleme beim Beweise der Konvergenz. Dazu muss ich diesen Doppelbruch auflösen. Ich denke aber ,

dass es nicht die beste möglichkeit ist ihn auszumultiplizieren mit dem Kehrwert. Kann mir jemand erklären wie ich hier am besten vorgehe? Wenn ich Exponenten oder Fakultäten dividieren soll weiß ich leider nicht so recht weiter. Danke schonmal ;)

LG

Answer 1

Keine Sorge, da fliegt am Ende einiges raus...

Versuch den Bruch einmal umzustellen:

$$\frac { \frac { a }{ b } }{ \frac { c }{ d } } =\frac { a }{ b } \frac { d }{ c }$$

Die Frage nach der Fakultät ist angemessen:

Wenn du weißt, was dahinter (Bedeutung der Fakultät) steckt, ist das auch einfach:

$$(n+1)!\quad =\quad (n+1)n!$$

Wenn du diese "Hinweise" der Reihe nach anwendest, dann hast du schon vieles vereinfacht, auch wenn es erstmal vom schreiben her mehr wird.

Auch die Potenzen kannst du besser darstellen:

$${ (n+2) }^{ n+1 }={ (n+2) }^{ n }{ (n+2) }$$

Denk bitte dran, du hast auch eine solche Fakultät:

$${ (n+2) }!$$

Wenn du das jetzt anwendest und wichtig: auch "kürz freundlich", aufschreibst, dann bist du auf der Zielgeraden :)

Comments

Probiere ich mal aus :)

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Achso hier noch ein paar weitere Hinweise:

Am Ende wirst du ja eine Grenzwertbetrachtung machen müssen, du kannst dabei den Grenzwert aufteilen!

Das führt dann dazu, dass das ganze Teil gegen e geht :)

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Wenn ich es aus multipliziere erhalte ich ja + zwischen den verschiedenen Termen. Dann kann ich ja nicht mehr so einfach weg kürzen :/

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Fast:

Genau bei dem Schritt musst du den Grenzwert betrachten:

(Wenn mich nicht alles täuscht, dann kommst du nach ein paar Umstellungen auf das hier:)

$$lim\frac { { (n+2) }^{ n } }{ { (n+1) }^{ n } } lim\frac { ({ n }^{ 2 }+1) }{ ({ n }^{ 2 }+2n+2) }$$

Jetzt betrachtest du dort die Grenzwerte, der "rechte" Limes geht gegen 1, der "linke" geht gegen e, das heißt e * 1 = e, sodass e dein Grenzwert ist. Das kann man sich auch grafisch verdeutlichen, wenn man sich das kurz Zeichnet, wird dann so bei 2.71... landen

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Das habe ich jetzt hier stehen. Die Fakultäten konnte ich schon wegkürzen. Wenn ich das allerdings noch weiter ausmultipliziere dann wird es zu kompliziert. Habe ich zwar auch schon probiert aber dann kam ich nicht weiter...

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Sieht schon fast gut aus!!!

Also in deiner (n+2)! Fakultät steckte noch etwas mehr drin, sodass du letztlich  mehr herauskürzen konntest:

Siehe Bild:

Dann den Grenzwert betrachten:

$$lim\frac { { (n+2) }^{ n } }{ { (n+1) }^{ n } } lim\frac { ({ n }^{ 2 }+1) }{ ({ n }^{ 2 }+2n+2) }$$

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Super! Jetzt hab ichs!

Nur eine Sache noch, wieso konnte man oben rechts die n+1 mit wegkürzen?

Bei n+2 ist es mir natürlich klar.

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Liegt daran, dass in der (n+2)! Fakultät noch etwas mehr drin steckte :)

(n+2)! = (n+1)(n+2)(n!)

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wie hast du (n+1) eliminiert?

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In dieser Fakultät (n+2)! steckt etwas mehr, sie Statement davor :), dann konnte man das raus kürzen. Man landet dann bei:

$$\frac { { (n+2) }^{ n } }{ { (n+1) }^{ n } } \frac { ({ n }^{ 2 }+1) }{ ({ n }^{ 2 }+2n+2) }$$

Und jetzt den Grenzwert betrachten:

siehe oben

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ahja verstanden sorry habe dn kommentar noch nicht gesehen

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Ach kein Problem :)