Die Untersuchung auf Extremalpunkte geschieht über die Ableitungen der Funktion. Aber zunächst sollte man sich die Funktion \(f(x)=x^4-4x^3\) mal anschauen:
~plot~ x^4-4x^3;[[-4|+6|-30|5]] ~plot~
Die erste Ableitung ist
$$f'(x)=4x^3 - 12 x^2$$
Die Kandidaten für die Extremalpunkte erhält man nach Nullsetzen der ersten Ableitung - also hier
$$f'(x)=4x^3 - 12 x^2=0 \quad \Rightarrow x_{1,2}=0; \space x_3=3$$
Zur weiteren Betrachtung bildet man die zweite Ableitung
$$f''(x)=12x^2-24x$$
... und setzt die Kandidaten oben dort ein. Man erhält
$$f''(x_{1,2}=0)=0; \quad f''(x_3=3)=36$$
Das heißt, bei \(x_{1,2}\) liegt lediglich ein Sattelpunkt, da hier \(f''=0\) ist, aber kein Extremalpunkt. Und bei \(x=3\) befindet sich ein Minimum, da die zweite Ableitung \(\gt0\) ist. Ein Blick in den Graph (s.o.) und man sieht, dass das Ergebnis Sinn macht.
Gruß Werner
