Kurvendiskussion von ft(x)=xe^{1-tx}

Question

:D Ich sitze gerade an meinen Hausaufgaben und verzweifle daran..

Bei den Extrempunkten hänge ich gerade fest:

Wir sollen eine Fallunterscheidung von t>0 und t<0 vornehmen. Ich habe mit t<0 begonnen und mit der notw. Bedingung ft'(x)=0 herausbekommen, dass an der Stelle x=-(1/t) ein Extrempunkt ist. Mit Hilfe der hin. Bedingung: VZW in ft'(x) soll jetzt ja geprüft werden, ob es sich um einen Tief- oder Hochpunkt handelt. Dazu habe ich mir einen Wert ausgesucht, der <-(1/t)< ist. ((1/t) und -(2/t)) Diese Werte muss ich jetzt in die 1. Ableitung einsetzten und müsste ein positives oder negatives Ergebnis erhalten. Leider komme ich am Ende auf den Ausdruck: ft'(-(2/t)=e^1-(2t/t^2)*(-(2t/t^2)+1)

Ist das jetzt positiv oder negativ?! :/ Ich hoffe es versteht jemand meine Frage und kann mir weiterhelfen!

:)

Answer 1

f _t (x) = x * e  ^1-tx

f ' _t (x) = 1 * e  ^1-tx    +  x * (-t) *e  ^1-tx    = (1 -tx)* e  ^1-tx

Da bekomme ich mit der notw. Bedingung  x = 1/t

und  f ' ' _t (x)  =  (1 -tx)* (-t) * e  ^1-tx    + (-t) *  e  ^1-tx   = ( x*t² - 2t)*  e  ^1-tx

und damit   f ' ' _t (1/t)   =  -t  also neagtiv wenn t positiv

                                         und umgekehrt. Hier am

Schluss ist erst Fallunterscheidung nötig.

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Wie bist du auf -t gekommen?

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e^0 = 1

-t*1 =-t

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aber wir haben doch kein e^0?

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Die Ableitung von  e  ^1-tx

ist wegen der Kettenregel  (-t)*e  ^1-tx

Answer 2

Rechne die Extremstelle zunächst ohne Fallunterscheidung aus. Sie liegt bei x=1/t. Der zugehörige Wert f_t(1/t) =1/t. Der Punkt (1/t|1/t) liegt für positive t im 1. Quadranten (Maximum) und für negative t in dritten Quadranten (Minimum)

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Alles klar! Aber wie gehe ich jetzt weiter vor?

Answer 3

mein Matheprogramm meint

ist t > 0 dann ist die Krümmung negativ.
= Rechtskrümmung = Hochpunkt

ist t < 0 dann ist die Krümmung positiv.
= Linksskrümmung = Tiefpunkt

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Das steht nichts? :D

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Mußte noch nachbearbeitet werden.

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Endlich mal jemand, der diese unkommentierten Rechnerauswürfe hinterfragt :-)

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Falls du den Nachweis ohne die 2.Ableitung
führen willst dann mit der Monotonie

Answer 4

Hallo Kreeper,

f_t (x)  =  x · e^{1 - t·x}

f_t '(x)  =  e^{1 - t·x} · (1 - t·x) = 0

Für t ≠ 0  hat  f_t '(x)   die Nullstelle 1/t  ,  für t = 0  keine Nullstelle.

f(1/t) = 1/t

f_t "(x)  =  t·e^{1 - t·x} · (t·x - 2) 

f_t "( 1/t) ) =  - t        →   H ( 1/t | 1/t )  für t > 0 

                                     T ( 1/t | 1/t )  für t < 0 

Gruß Wolfgang