Gleichung lösen x^3-4,5x^2+11,475=0

Question

Hi,

ich brauche mal wider Hilfe!

Ich habe diese Gleichung: x^3-4,5x^2+11,475=0

Weiß nicht wie ich die lösen soll, kann mir einer bitte den lösungsweg in Schritten erklären.

Und könnte man die Gleichung im Newton verfahren lösen?

Grüße

Answer 1

Hi,

Ja, das Newtonverfahren ist hier eine gute Wahl. So kann man die drei Schnittpunkte bestimmen.

Du weißt sicherlich, dass das Newtonverfahren über die Formel

$$x_{i+1} = x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$

beschrieben wird.

Die Formel 3-fach angewandt, komme ich auf:

$$x_1 = -1,395$$

$$x_2 = 2,267$$

$$x_3 = 3,628$$

Grüße

Comments

Das Newton Verfahren habe ich davor gegoogelt, leider habe ich das nicht ganz nachvollzogen wie ich die Formel einsetze mit den richtigen Vorzeichen, währe sehr dankbar wenn du mir es erklären könntest ;)

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Ah ich dachte, da Du den Begriff kennst, bist Du damit vertraut. Ich zeig es Dir mal für \(x_1\).

Für \(x_0\) wählen wir \(x_0=-1\).

Die Ableitung noch bilden \(f'(x) = 3x^2-9x\).


$$x_1 = -1-\frac{f(-1)}{f'(-1)} = -1-\frac{5,975}{12} = -1,4979166$$

Nun bestimmst Du \(x_2\) in dem Du genauso vorgehst, wobei Du nun \(x_1\) als neues \(x_i\) nimmst.

Das machst Du solange, bis Du die gewünschte Genauigkeit hast, also sich die Nachkommastellen der gewünschten Genauigkeit nicht mehr ändern.

Wenn ich mich beim TR nicht vertippt habe:

\(x_2 = -1,39981\)

\(x_3 = -1,39518\)

\(x_4 = -1,39517\)


Bei \(x_3\) und \(x_4\) sind nun die ersten 4 Dezimalstellen genau gleich. Das reicht meiner Ansicht nach aus und man kann aufhören. Man kommt damit auf die erste Nullstelle \(x_1 = -1,395\).


Alles klar? ;)

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:( nicht wirklich.... wie kommest du zu der 12 und der 5,975? Wenn ich die 11,475/2 teile=5,7375 und die 12 hast du raus in dem du 9+3 genommen hast?


Noch eine kleine Frage, wenn ich die Gleichung Grafisch lösen soll, kann ich die Formel x^3-4,5x^2+11,475=0  nicht nehem, denn wenn ich eine Wertabelle anlege währe ich bei ca. -2.025 der tiefste Punkt.

Wie sollte ich da vorgehen?

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Wie meinst Du das mit "wenn ich die 11,475/2 teile=5,7375"

Du hast doch f(x) = x³-4,5x²+11,475 gegeben. Die Ableitung hatte ich gerade zu f'(x) = 3x^2-9x bestimmt.

Jetzt wollen wir ja f(-1) bzw. f'(-1) haben. Setze ein und Du erhältst den Zähler bzw. Nenner ;).

Willst Du es nochmals selbst probieren?

 

Zeichnerische Lösung: Das hat ja mit den Extremstellen nichts zu tun?! Mach, wie Du es schon selbst sagst, eine Wertetabelle. Wo die x-Achse geschnitten wird, findest Du Deine Nullstellen. Diese sind allerdings seeeehr ungenau ;).

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Vielen Dank für die Erklärung, habe es leider nicht wirklich begriffen...werde in der Schule mal nachfragen.

Aber es währe richtig zb. nehem ich die 2:          2^3-4,5^2+11,475  wenn ich die Wertetabelle anlege und es Grafisch zeichne währe der Punkt  bei ca.          -2,025!
Wenn das stimmt, dann liegen ja Welten zwische Grafischer Lösung und der Rechnerischen.


Gruß

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Also nochmals langsam.

Wertetabelle um zeichnerisch einen Überblick zu gewinnen:

f(x) = x³-4,5x²+11,475

Anschauen der Punkte x=-2...x=4. Ich zeig das mal für x=-1

f(-1) = (-1)^3-4,5*(-1)^2+11,475 = 5,975

Das ist also der zugehörige y-Wert zum x-Wert. Der Punkt P(-1|5,975).

Das mache mit den anderen Stellen und zeichne die Punkte in das Schaubild. Das sollte letztlich etwa so aussehen:

 

Hier kannst Du die Nullpunkte nur sehr ungenau ablesen. Deswegen kannst Du das Newtonverfahren anwenden. Du weißt schon wo in etwa die Nullpunkte liegen. Du kannst nun die Startpunkte, also \(x_0\) im Newtonverfahren wählen, in dem Du Dich in etwa am Schaubild orienterst. Wie das mit dem Newtonverfahren dann funktioniert, siehe im vorherigen Kommentar :).