Konvergenz einer Reihe: ∑ (n = 1 bis ∞) (n^2/(n^4 - k))

Question

Wie zeige ich am besten, dass die Reihe

∑ (n = 1 bis ∞) (n^2/(n^4 - k)) mit k ∉ ℕ

konvergiert?

Ist es günstig im Zähler √k zu addieren und dann zu kürzen oder geht das einfacher?

Comments

Vielleicht folgende Abschätzung: \(\dfrac{n^2}{n^4-k}<\dfrac2{n^2}\) für alle \(n>\sqrt[4]{2k}\).

Answer 1

für große n gilt n^2/(n^4-k) ≈1/n^2.

Die Summe darüber konvergiert.

Schätze die gegebene Reihe also  ab und verwende das Majorantenkriterium.

z.B so hier:

für k>=0:

n^2/(n^4-k)<=(n^2+√k)/(n^4-k)=1/(n^2-√k)<=1/(n^2-2n√k-k)=1/(n-k)^2

Das ist eine verschobene 1/n^2 Reihe, also auch konvergent.

Für k<0 gilt

n^2/(n^4-k)<=n^2/n^4=1/n^2

Comments

Da ist doch ein Vorzeichen verkehrt

1 / (n² - 2n√k - k) = 1 / (n - k)²

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Nicht nur ein Vorzeichen.

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Nehmen wir mal an das soll in folgende Richtung gehen

1/(n^2 - 2·n·√k + k) = 1/(n - √k)^2

Ich habe dort ja ein minus k. Und es gibt keine Binomische Formel die auf  - k endet.

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Oops ja da hab ich Mist geschrieben ;)

Ok noch mal bei

1/(n²-√k) anfangen:

1/(n²-√k)<=1/(n^2-2n√k+k)=1/(n-√k)^2

So dürfte es passen oder?

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1/(n^2 - k) ≤ 1/(n^2 - k - k·(2·n - 1 - k)) = 1/(n^2 - 2·n·k + k^2) = 1/(n - k)^2 --> konvergent

Ja. Das passt so. Danke. Na darauf muss man erstmal kommen ...